Come calcolare il dominio di un integrale doppio

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Se una funzione ha due variabili su un dominio, ossia un insieme chiuso e limitato, si parla di integrale doppio: considerate che abbiamo due integrali perché stiamo trattando una regione bidimensionale. E se abbiamo la necessità di calcolare il dominio, dovremo cominciare con il rappresentarlo sugli assi cartesiani e vedremo poi come arrivare al giusto esito, seguendo i passi
quivi appresso indicati.

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Calcolo del dominio col teorema di Fubini

Presupponiamo che dominio in questione, che chiameremo R, sia un rettangolo, nel quale: R=[a, b]x[c, d]. Con il teorema di Fubini arriveremo alla risoluzione di un integrale doppio riducendo il calcolo a due integrali in una variabile. Sia f (X, Y) l’integrale doppio sul rettangolo R=[a, b]x[c, d] allora potremo notare quindi che siamo alle prese con integrali iterati, che esistono fattivamente due modi per calcolare un integrale doppio e che il differenziale interno concilia con i limiti sull'integrale interno.

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Calcolo del differenziale interno

Se il differenziale interno è dy, allora i limiti sull'integrale interno devono essere Y limiti di integrazione. E se il differenziale esterno è dy allora i limiti sull'integrale esterno devono essere Y limiti di integrazione. Prendendo il suddetto esempio e modificandolo leggermente per semplificare: risolveremo il doppio integrale calcolando innanzitutto ʃdc f (X, Y) dy e lo faremo mantenendo X costante, applicando la riduzione ad un integrale semplice.

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Calcolo del radicale doppio sul rettangolo

Calcoliamo ora il seguente integrale doppio su detto rettangolo. Indipendentemente da quale variabile ridurremo, rispetto all'asse delle ascisse o delle ordinate, otterremo l'identico risultato. Per provarlo calcoliamolo in entrambi gli ordini e verificheremo che avremo ottenuto lo stesso risultato. Iniziamo riducendo rispetto a Y. Assicuriamoci che i limiti coincidano coi differenziali. Poiché la dy è il differenziale interno, l’integrale interno deve avere Y limiti. Per calcolarlo, eseguiremo dapprima l’integrale interno, mantenendo l’integrale esterno.

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Risolvere l’integrale in entrambe le direzioni

Si potrà risolvere l’integrale in entrambe le direzioni, anche se a volte una direzione di integrazione risulta essere molto più semplice dell’altra. Pertanto prima di procedere al calcolo dell’integrale, sarà bene riflettere su quale eseguire. Vediamo ora, in un rapido accenno, un caso di integrali iterati più facili da calcolare. Se f (X, Y)=g (X) h (Y) e stiamo integrando su un rettangolo R=[a, b]x[c, d]. Pertanto se possiamo spezzare la funzione in una funzione che sia solo x volte funzione di y, allora possiamo calcolare i due integrali individualmente e moltiplicarli insieme.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Rappresentare il dominio sulle assi cartesiane.
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