Come calcolare il differenziale nell'integrazione per sostituzione

Tramite: O2O 04/10/2018
Difficoltà: media
16

Introduzione

Il calcolo integrale non è sicuramente l'argomento più semplice in matematica, ma sfortunatamente ha infinite applicazioni e deve essere capito ed è bene che accada sin da subito. Fra le varie tecniche esistenti per il calcolo di un integrale, c'è quella della sostituzione. In parole povere si identifica una struttura all'interno di una funzione che possa essere ricondotta ad una variabile più facile da trattare e si opera una vera e propria sostituzione per semplificarci i calcoli. Ovviamente per questo tipo di approccio occorre calcolare anche i relativo differenziale. Con questa guida vedremo come calcolare il differenziale nell'integrazione per sostituzione.

26

Occorrente

  • Carta
  • Penna
36

Cambio della variabile

Supponiamo di trovarci in una situazione in cui la funzione da integrare sia del tipo f(g(x)). se si riesce a sostituire g(x) con la variabile ausiliaria t, possiamo alleggerire e non di poco i calcoli. Sotto il segno di integrale dovremmo trovare una forma del tipo f(g(x)*g'(x)*dx da trasformare in f(t)*dt. Ciò che conta è che sia presente la derivata prima di g(x) per poter procedere. Una volta individuati i termini si deve passare al calcolo di dt sostituendolo nell'espressione.

46

Cambio dell'intervallo

Ovviamente cambiando la variabile, cambia di conseguenza anche l'intervallo di integrazione. Si tratta di invertire la funzione t=g(x) in modo tale da esplicitare la x e gli intervalli diventano quelli trasformati. Il metodo di trasformazione della variabile, di solito, però si accompagna ad altri sistemi di integrazione, come quella per parti per il semplice fatto che si introducono a volte degli artefatti per esplicitare la derivata g(x)'. Per chi ha un minimo di dimestichezza con le funzioni, basta calcolare il valore assunto dalla t in corrispondenza delle x che sono gli estremi dell'intervallo di integrazione.

Continua la lettura
56

Esempio di differenziale

Per fare un esempio, supponiamo di dover integrare una funzione del tipo f(x)=x*cos(x^2+1) se chiamiamo t=x^2+1, troveremo dt=2x*dx e dovremo andare a compensare il "2" nell'integrale, ottenendo (1/2)*cos(t)*dt . A questo punto dobbiamo andare a lavorare sui termini relativi agli estremi di integrazione. Se l'intervallo di integrazione originale fosse stato fra 0 e 2 adesso tramite la trasformazione passerebbe ad essere fra 1 e 5. Per il resto l'integrale si calcola esattamente come al solito con tutte le proprietà degli integrali. Il metodo si integra facilmente anche all'interno di altri procedimenti, anche solo per alleggerire il calcolo bruto.

66

Consigli

Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come calcolare il differenziale di una funzione a due variabili

La parte della matematica che riguarda il calcolo integro-differenziale è forse la più ostica, perché apre improvvisamente ad un mondo no più fatto di relazioni e formule semplici, ma molto libero, specie per quanto riguarda gli spazi di calcolo....
Superiori

Come calcolare il differenziale negli integrali

Il calcolo degli integrali è una parte importante della matematica con moltissimi risvolti nella fisica e in tutte le discipline tecniche. Grazie a questo strumento, per esempio, è possibile calcolare una superficie oppure un volume di una figura, conoscendo...
Superiori

Come calcolare il differenziale di una funzione

Lo studio di funzione è uno degli argomenti più complessi del mondo della matematica. Si tratta di un argomento che si affronta già negli ultimi anni di liceo, ma che si finisce per approfondire nel corso di studi universitari inerenti l'ambito scientifico....
Superiori

Come calcolare la pressione differenziale

Conoscere bene il funzionamento degli organi interni al corpo umano risulta importante non soltanto quando ci si iscrive ad una facoltà universitaria sulla medicina. Tutti sanno che il cuore rappresenta il motore della vita, quindi bisogna assolutamente...
Superiori

Matematica: il calcolo differenziale

Chi studia una materia come la matematica, molto probabilmente si troverà a dover affrontare un approccio analitico con la questione del calcolo differenziale. Questo si occupa dello studio dell'operazione derivazione e rappresenta praticamente la variazione...
Superiori

Come calcolare il dominio di un integrale doppio

Se una funzione ha due variabili su un dominio, ossia un insieme chiuso e limitato, si parla di integrale doppio: considerate che abbiamo due integrali perché stiamo trattando una regione bidimensionale. E se abbiamo la necessità di calcolare il dominio,...
Superiori

Come risolvere un sistema di primo grado a 3 incognite col metodo di sostituzione

Nel caso in cui ti piace la matematica, oppure se ti è stato assegnata un'equazione da risolvere e non sai da dove partire, sei capitato nel posto giusto. Spesso la matematica rappresenta una disciplina difficile da comprendere, ma se si comprende il...
Superiori

Come risolvere un sistema di primo grado col metodo di sostituzione

La matematica è sicuramente una delle materie più complesse da studiare, poiché oltre ad imparare tutta la teoria e le varie formule, dovremo poi essere in grado di applicare tutto quello che abbiamo studiato nello svolgimento di esercizi più o meno...