Come calcolare il differenziale nell'integrazione per sostituzione

Il calcolo integrale non è sicuramente l'argomento più semplice in matematica, ma sfortunatamente ha infinite applicazioni e deve essere capito ed è bene che accada sin da subito. Fra le varie tecniche esistenti per il calcolo di un integrale, c'è quella della sostituzione. In parole povere si identifica una struttura all'interno di una funzione che possa essere ricondotta ad una variabile più facile da trattare e si opera una vera e propria sostituzione per semplificarci i calcoli. Ovviamente per questo tipo di approccio occorre calcolare anche i relativo differenziale. Con questa guida vedremo come calcolare il differenziale nell'integrazione per sostituzione.

• Carta
• Penna

Supponiamo di trovarci in una situazione in cui la funzione da integrare sia del tipo f(g(x)). se si riesce a sostituire g(x) con la variabile ausiliaria t, possiamo alleggerire e non di poco i calcoli. Sotto il segno di integrale dovremmo trovare una forma del tipo f(g(x)*g'(x)*dx da trasformare in f(t)*dt. Ciò che conta è che sia presente la derivata prima di g(x) per poter procedere. Una volta individuati i termini si deve passare al calcolo di dt sostituendolo nell'espressione.

Ovviamente cambiando la variabile, cambia di conseguenza anche l'intervallo di integrazione. Si tratta di invertire la funzione t=g(x) in modo tale da esplicitare la x e gli intervalli diventano quelli trasformati. Il metodo di trasformazione della variabile, di solito, però si accompagna ad altri sistemi di integrazione, come quella per parti per il semplice fatto che si introducono a volte degli artefatti per esplicitare la derivata g(x)'. Per chi ha un minimo di dimestichezza con le funzioni, basta calcolare il valore assunto dalla t in corrispondenza delle x che sono gli estremi dell'intervallo di integrazione.

Per fare un esempio, supponiamo di dover integrare una funzione del tipo f(x)=x*cos(x^2+1) se chiamiamo t=x^2+1, troveremo dt=2x*dx e dovremo andare a compensare il "2" nell'integrale, ottenendo (1/2)*cos(t)*dt . A questo punto dobbiamo andare a lavorare sui termini relativi agli estremi di integrazione. Se l'intervallo di integrazione originale fosse stato fra 0 e 2 adesso tramite la trasformazione passerebbe ad essere fra 1 e 5. Per il resto l'integrale si calcola esattamente come al solito con tutte le proprietà degli integrali. Il metodo si integra facilmente anche all'interno di altri procedimenti, anche solo per alleggerire il calcolo bruto.

• Integrazione per sostituzione