Come calcolare il differenziale negli integrali

Il calcolo degli integrali è una parte importante della matematica con moltissimi risvolti nella fisica e in tutte le discipline tecniche. Grazie a questo strumento, per esempio, è possibile calcolare una superficie oppure un volume di una figura, conoscendo l'espressione della curva che la genera, oppure effettuare stime statistiche e operazioni di smooting dei dati che altrimenti non sarebbero leggibili. Per calcolare un integrale, però si deve innanzitutto determinare il differenziale, che in sostanza è la chiave da cui partire. Vediamo quindi come fare.

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Il differenziale è l'elemento che indica la variazione infinitesimale del valore di una variabile indipendente. Per semplificare il tutto con un esempio, scrivere "dx", equivale ad indicare che ci stiamo spostando di una quantità molto piccola lungo l'asse x. Nel calcolo integrale, in sostanza, l'area sottesa da una curva, con una base ampia dx è la superficie infinitesima della riga di proiezione di un intervallo infinitesimo di curva su una base infinitesima larga dx. Senza questo termine la funzione integrale perde completamente di senso. Per capirci meglio, le funzioni che si fanno ai licei si integrano quasi sempre in dx, ma se il differenziale fosse una superficie infinitesima ds descritta magari con un'espressione in 3 variabili, la cosa diventa complicata, perché senza l'espressione di ds non sappiamo come proseguire.

Il calcolo del differenziale non è di solito complicatissimo, perché alla fine si fa con le derivate che per le funzioni ordinarie sono tabulate. La relazione che intercorre fra una derivata di funzione e un differenziale è semplice. La derivata di una funzione in un punto è data dal rapporto fra il differenziale della funzione e il differenziale della variabile indipendente. F'(x0)=dy/dx dove y=f(x) per il caso di una funzione ad una sola variabile. Se si deve andare ad operare su funzioni con più variabili, come quelle che rappresentano spazi e superfici, il calcolo si estende linearmente. Y=f(x1..xn) sia una funzione su n variabili, dy=(∂y/∂x1)*dx1+....+(∂y/∂xn)*dxn . In sostanza si deriva la funzione y secondo una delle variabili e la si moltiplica per il differenziale relativo, procedendo poi con le altre variabili.

Per capire l'impiego del differenziale riporto un semplice esempio didattico di impostazione del problema. Supponiamo di dover calcolare il differenziale di una superficie espressa come: s(x,y,z)=(x^2)+(y^2)+(z^2) che rappresenta una generica sfera. Il differenziale ds si calcola come ds=(∂f(x,y,z)/∂x)*dx+(∂f(x,y,z)/∂y)*dy+(∂f(x,y,z)/∂z)*dz che da un risultato: ds=2x*dx+2y*dy+2z*dz
Per i differenziali valgono tutte le regole e le proprietà delle derivate e le parti si possono gestire sotto molti aspetti come polinomi.

• Calcolo del differenziale