Come calcolare il differenziale negli integrali

Tramite: O2O 28/07/2018
Difficoltà:media
16

Introduzione

Il calcolo degli integrali è una parte importante della matematica con moltissimi risvolti nella fisica e in tutte le discipline tecniche. Grazie a questo strumento, per esempio, è possibile calcolare una superficie oppure un volume di una figura, conoscendo l'espressione della curva che la genera, oppure effettuare stime statistiche e operazioni di smooting dei dati che altrimenti non sarebbero leggibili. Per calcolare un integrale, però si deve innanzitutto determinare il differenziale, che in sostanza è la chiave da cui partire. Vediamo quindi come fare.

26

Occorrente

  • Carta
  • Libro di analisi 1
  • Libro di analisi 2
  • Penna
36

Il differenziale

Il differenziale è l'elemento che indica la variazione infinitesimale del valore di una variabile indipendente. Per semplificare il tutto con un esempio, scrivere "dx", equivale ad indicare che ci stiamo spostando di una quantità molto piccola lungo l'asse x. Nel calcolo integrale, in sostanza, l'area sottesa da una curva, con una base ampia dx è la superficie infinitesima della riga di proiezione di un intervallo infinitesimo di curva su una base infinitesima larga dx. Senza questo termine la funzione integrale perde completamente di senso. Per capirci meglio, le funzioni che si fanno ai licei si integrano quasi sempre in dx, ma se il differenziale fosse una superficie infinitesima ds descritta magari con un'espressione in 3 variabili, la cosa diventa complicata, perché senza l'espressione di ds non sappiamo come proseguire.

46

Calcolo del differenziale

Il calcolo del differenziale non è di solito complicatissimo, perché alla fine si fa con le derivate che per le funzioni ordinarie sono tabulate. La relazione che intercorre fra una derivata di funzione e un differenziale è semplice. La derivata di una funzione in un punto è data dal rapporto fra il differenziale della funzione e il differenziale della variabile indipendente. F'(x0)=dy/dx dove y=f(x) per il caso di una funzione ad una sola variabile. Se si deve andare ad operare su funzioni con più variabili, come quelle che rappresentano spazi e superfici, il calcolo si estende linearmente. Y=f(x1..xn) sia una funzione su n variabili, dy=(?y/?x1)*dx1+....+(?y/?xn)*dxn . In sostanza si deriva la funzione y secondo una delle variabili e la si moltiplica per il differenziale relativo, procedendo poi con le altre variabili.

Continua la lettura
56

Esempio di differenziale

Per capire l'impiego del differenziale riporto un semplice esempio didattico di impostazione del problema. Supponiamo di dover calcolare il differenziale di una superficie espressa come: s(x,y,z)=(x^2)+(y^2)+(z^2) che rappresenta una generica sfera. Il differenziale ds si calcola come ds=(?f(x,y,z)/?x)*dx+(?f(x,y,z)/?y)*dy+(?f(x,y,z)/?z)*dz che da un risultato: ds=2x*dx+2y*dy+2z*dz
Per i differenziali valgono tutte le regole e le proprietà delle derivate e le parti si possono gestire sotto molti aspetti come polinomi.

66

Consigli

Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Naviga con la tastiera

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come calcolare il differenziale di una funzione a due variabili

La parte della matematica che riguarda il calcolo integro-differenziale è forse la più ostica, perché apre improvvisamente ad un mondo no più fatto di relazioni e formule semplici, ma molto libero, specie per quanto riguarda gli spazi di calcolo. In questa...
Superiori

Come calcolare il differenziale nell'integrazione per sostituzione

Il calcolo integrale non è sicuramente l'argomento più semplice in matematica, ma sfortunatamente ha infinite applicazioni e deve essere capito ed è bene che accada sin da subito. Fra le varie tecniche esistenti per il calcolo di un integrale, c'è quella...
Superiori

Come calcolare il differenziale di una funzione

Lo studio di funzione è uno degli argomenti più complessi del mondo della matematica. Si tratta di un argomento che si affronta già negli ultimi anni di liceo, ma che si finisce per approfondire nel corso di studi universitari inerenti l'ambito scientifico....
Superiori

Come calcolare la pressione differenziale

Conoscere bene il funzionamento degli organi interni al corpo umano risulta importante non soltanto quando ci si iscrive ad una facoltà universitaria sulla medicina. Tutti sanno che il cuore rappresenta il motore della vita, quindi bisogna assolutamente...
Superiori

Come calcolare gli integrali definiti con la calcolatrice

Gli integrali definiti non sono altro che semplici operatori matematici con funzione reale di variabile. La funzione può anche essere definita la decomposizione di un intervallo che permette di determinare sempre in maniera univoca tutti i suoi sottointervalli....
Superiori

Come calcolare il dominio di un integrale doppio

Se una funzione ha due variabili su un dominio, ossia un insieme chiuso e limitato, si parla di integrale doppio: considerate che abbiamo due integrali perché stiamo trattando una regione bidimensionale. E se abbiamo la necessità di calcolare il dominio,...
Superiori

Matematica: il calcolo differenziale

Chi studia una materia come la matematica, molto probabilmente si troverà a dover affrontare un approccio analitico con la questione del calcolo differenziale. Questo si occupa dello studio dell'operazione derivazione e rappresenta praticamente la variazione...
Superiori

Come risolvere gli integrali doppi

La matematica è una materia, in generale, poco amata dagli studenti perché richiede molto esercizio ed allenamento per capirne i concetti. In matematica, infatti, non basta studiare la teoria per riuscire a risolvere facilmente gli esercizi ma è necessario...