Come calcolare il differenziale di una funzione in un punto

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una delle materie scolastiche più ostiche in assoluto. Per un gran numero di studenti, infatti, confrontarsi con concetti sempre più complessi e articolati può rappresentare un vero e proprio ostacolo all'apprendimento. Tra gli argomenti matematici più difficili da consolidare troviamo il differenziale, appartenente più nello specifico alla teoria del calcolo infinitesimale. Il differenziale corrisponde alla più piccole variazione di una funzione (si parla di variazione infinitesimale) rispetto ad una determinata variabile indipendente prestabilita. A livello formale, il differenziale assume la seguente forma:

d f(x, h) = f' (x) h,

dove f' corrisponde alla derivata della funzione iniziale, mentre x e h corrispondono a due variabili indipendenti. A tal proposito, vediamo come calcolare il differenziale di una funzione in un punto.

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Occorrente

  • Penna
  • Quaderno
  • Libro di testo di analisi matematica di base
  • Formulario con funzioni differenziali e relativi grafici
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La definizione di differenziale in un punto

Partiamo da una definizione più approfondita. Per arrivare a calcolare il differenziale di una funzione in un punto è necessario partire da un determinato intervallo aperto I, avendo come punto di riferimento una funzione f(x) derivabile all'interno di tale intervallo. Prendendo in considerazione un punto x0, con x appartenente all'intervallo stesso, l'incremento o la variazione della funzione (definito come delta x) relativo al punto x0 assumerà la forma seguente:

delta x: = x - x0;

il differenziale della funzione enunciata, ovvero f(x) nel punto x0, è dato dal prodotto tra la derivata prima in x0 per delta x. Per definire il differenziale è possibile utilizzare simboli diversi quali dy e df(x0).

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L'analisi del differenziale

Analizzando la definizione enunciata in precedenza e prendendo in considerazione i nuovi simboli introdotti, la formula generale relativa al calcolo differenziale assumerà la seguente forma:

dy = df (x0) = df(x0) (delta x): = f' (x0) delta x;

tornando alla definizione di differenziale, questo può essere analizzato ancor più in profondità presupponendo di essere in grado di padroneggiare al meglio i concetti teorici relativi allo studio di funzioni. Se si considera nuovamente l'incremento delta x come differenza tra il punto x e x0, si evince che x è in grado di variare all'interno dell'intervallo; inoltre, x0 consiste in un vero e proprio valore fissato, il che significa che anche la sua derivata prima f'(x0) è fissata nel punto in questione.

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Il differenziale come funzione lineare

A questo punto bisogna fare un'ultima considerazione. Con x variabile all'interno dell'intervallo I, delta x assume le sembianze di una vera e propria variabile. Di conseguenza, il differenziale dy di una determinata funzione derivabile, riassumibile nella forma

dy = f'(x0) delta x,

coinciderà con una funzione lineare all'interno della variabile delta x. Se desideri altre informazioni su come calcolare il differenziale di una funzione in un punto consulta il link: https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/derivate/3437-differenziale-e-funzione-differenziabile.html

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Prima di passare allo svolgimento di esercizi sui differenziali delle funzioni, assicurati di aver compreso fino in fondo i concetti teorici illustrati nella guida. Comprendere la matematica è possibile solamente attraverso uno studio approfondito.
  • Procurati esercizi svolti relativi ai differenziali delle funzioni. Esercizi di questo tipo si possono trovare nei libri di testo più approfonditi o direttamente sul web, con tutorial testuali o in formato video in grado di aiutare gli studenti in difficoltà.
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