Come calcolare il differenziale di una funzione a due variabili

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La parte della matematica che riguarda il calcolo integro-differenziale è forse la più ostica, perché apre improvvisamente ad un mondo no più fatto di relazioni e formule semplici, ma molto libero, specie per quanto riguarda gli spazi di calcolo. In questa parte della matematica, infatti, si capisce come le formule che abbiamo studiato sono solo un aspetto davvero infimo del mondo dei numeri. Vediamo quindi come calcolare il differenziale di una funzione in due variabili.

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Occorrente

  • Carta a quadretti
  • Funzione in 2 variabili
  • Matita
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Verifica di differenziabilità

Intanto per iniziare, non tutte le funzioni sono differenziabili, e ci sono condizioni che devono essere verificate prima di partire con i calcoli. Deve esistere una applicazione lineare L che va da un dominio reale ad n dimensioni ad uno ad m dimensioni tale che, data la nostra funzione F da verificare F(x+h)-F(x)=L(x)*h+r(h) dove r deve annullarsi con ordine di infinitesimo superiore ad 1 all'annullarsi di h. La condizione deve valere su tutto il dominio di F. In questo caso F si dice differenziabile.

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Calcolo del differenziale

Per il calcolo del differenziale, fatte le opportune premesse, il calcolo non è particolarmente difficile, perché ci serve solo la conoscenza delle derivate in una variabile, e di un minimo di algebra. Il differenziale della funzione f(x,y) è semplicemente la somma delle derivate parziali, moltiplicate per il differenziale relativo. Questo metodo si applica invariato anche per funzione in n variabili con n qualsiasi. Di solito a meno che il problema non lo richieda esplicitamente si tende ad usare notazioni abbreviate per evitare di portarci dietro calcoli che possono essere esplicati in un secondo momento.

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Esempi di calcolo

Per poter capire il calcolo del differenziale, dando per scontato che le funzioni riportate sono differenziabili, vi riporto un paio di semplici esempi didattici. Sia f(x,y)=x^3+y^2 la funzione di cui calcolare il differenziale. D(f)= {d[f(x,y)]/dx}*dx+ {d[f(x,y)]/dy}*dy che di da come risultato 3(x^2)*dx+2y*dy.Se la funzione da studiare invece fosse stata g(x,y)=x*(y^4) il risultato che avremmo avuto sarebbe stato (y^4)*dy+4x*(y^3)dy perché le variabili non sono separate. I calcolo è analogo anche per un numero più alto di variabili, ma di solito per comodità si utilizza il simbolo "nabla" a moltiplicare scalarmente la funzione per evitare di stare a scrivere troppe variabili per nulla. Attenzione perché la moltiplicazione scalare del nabla da un risultato, mentre quella vettoriale porta in un settore completamente differente che è quella del calcolo del rotore.

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