Come calcolare il differenziale di una funzione

Lo studio di funzione è uno degli argomenti più complessi del mondo della matematica. Si tratta di un argomento che si affronta già negli ultimi anni di liceo, ma che si finisce per approfondire nel corso di studi universitari inerenti l'ambito scientifico. Una funzione matematica va "studiata" per poterne ricavare non soltanto i valori delle incognite, ma anche per poter realizzare il relativo grafico, ovvero quel disegno che ci permette di capire come effettivamente si comporta la funzione punto per punto. In questa guida, in particolare, vi mostreremo come calcolare il differenziale di una funzione.

Per prima cosa, vi è da dire che il differenziale di una funzione altro non è che il calcolo della variazione della funzione stessa rispetto ad una variabile (l'incognita di cui parlavamo nell'introduzione), indipendente, ovvero una variabile il cui valore non interferisce con il differenziale. Matematicamente, il differenziale è calcolato come la derivata della funzione stessa rispetto ad x. Essendo questo il calcolo di una variazione infinitesimale, i valori ottenuti sono molto piccoli ed è necessario o comunque maggiormente agevole ricorrere alla scrittura dei numeri in notazione scientifica.

Per poter andare a calcolare il differenziale di una funzione c'è bisogno che tale funzione rispetti il criterio di differenziabilità. Esso può essere valutato considerando innanzitutto due punti di qualunque in un intervallo continuo, al cui interno è presente la nostra variabile x. Se la variazione della funzione è approssimabile ad una applicazione lineare continua, ovvero se la funzione forma graficamente una linea di cui può essere rintracciato l'incurvamento solo a livello infinitesimale, allora la funzione è effettivamente differenziabile. In maniera meno tecnica diremmo che la funzione subisce una leggera variazione rispetto al suo andamento principale.

Se costruiamo il grafico della funzione su un piano cartesiano e rintracciamo una retta tangente alla funzione generica descritta, otterremo un punto A comune alla curva e alla retta. A questo punto consideriamo il triangolo che ha come vertici il punto A e i due punti di uguale ascissa ma di ordinata differente che si trovano lungo la retta perpendicolare al piano delle ordinate, passante per un punto B preso lungo la curva. Dalla costruzione geometrica si intuisce che il differenziale della funzione dipende dall'incremento del valore dell'ordinata del punto di tangenza tra la curva e la retta: all'aumentare di tale valore, aumenta il differenziale.

• Differenziale di una funzione