Come calcolare il cubo di un trinomio

Calcolare il cubo di un trinomio, appartenente alla "famiglia" dei prodotti notevoli, può sembrare un lavoro piuttosto complesso ma, come possiamo spesso osservare in algebra, l'operazione può essere ridotta ad una serie di formule meccaniche che renderanno l'operazione semplicissima e immediata. Vediamo allora come calcolare poi il cubo di un trinomio.

• Carta e penna

Cominciamo con il calcolare il cubo di un trinomio.
Prendiamo come esempio: (a+b+c)^3=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c).
Raggruppando ora i primi due termini si ha: (a+b+c)^2(a+b+c).
Svogliamo ora il quadrato del trinomio: (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.
Avremo ora: (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)(a+b+c).
Il risultato di questa moltiplicazione sarà: a^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^3+b^2c+ac^2+bc^2+c^3+2a^2b+2ab^2+2abc+2a^2c+2abc+2ac^2+2abc+2b^2c+2bc^2.
Raccogliendo gli elementi possiamo ottenere: a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc.
Quindi (a+b+c)^3=(a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc).

Non ci dilungheremo molto qui nella dimostrazione del calcolo ma forniremo una semplice spiegazione dei vari passaggi dell'operazione da svolgere. Per una comprensione più esauriente cercheremo di capire bene ed illustrare in maniera completa la dimostrazione riguardante lo svolgimento del cubo di un binomio e del quadrato di un trinomio. In alternativa vediamo allora alcuni esempi pratici. Risolviamo adesso attraverso la formula sopra indicata il seguente trinomio: (3x+6y+2z)^3(3x+6y+2z)^33x^3+6y^3+2z^3+54x^2y+18x^2z+54xy^2+36y^2z+18xz^2+36yz^2+216xyz. Un altro utile esempio:3(a+2b+c)^3; in questo caso particolare bisognerà prima svolgere il cubo dl trinomio e successivamente moltiplicare ogni singolo monomio ottenuto per 3;
3(a+2b+c)^3=3(a^3+2b^3+c^3+6a^2b+3a^2c+6b^2a+6b^2c+3c^2a+6c^2b+18abc)=
=3a^3+6b^3+3c^3+18a^2b+9a^2c+18b^2a+18b^2c+9c^2a+18c^2b+54abc.

Per capire meglio come svolgere questa operazione, andiamo prima a conoscere bene la definizione del cubo di un trinomio. Il cubo di un trinomio del tipo (a+b+c)^3 è uguale alla somma del cubo dei singoli monomi, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto per il quadrato del primo per il terzo, più il triplo prodotto per il quadrato del secondo per il primo, più il triplo prodotto per il quadrato del secondo per il terzo, più il triplo prodotto del quadrato del terzo per il primo, più il trilpo prodotto per il quadrato del terzo per il secondo, più sei volte il prodotto dei tre singoli monomi.

• Attenzione!! Per semplificare la comprensione dei calcoli e per ridurre l'estensione dei procedimenti si è volontariamente omesso il segno (*) per indicare l'operazione di moltiplicazione. Quindi in luogo di a*b*c troveremo abc.

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