Come calcolare il cubo di un polinomio

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'algebra rappresenta da sempre il nemico numero uno di tantissimi studenti, persino quelli più portati in matematica. Quante volte ci sarà capitato di pensare "Ero bravo in matematica, prima che oltre ai numeri iniziassero ad esserci le lettere"? Ma cosa sono, queste famose lettere? Non sono altro che la parte letterale legata tramite moltiplicazione ad un coefficiente numerico tramite cui costituiamo un'espressione algebrica comunemente definita "monomio". Espressioni come 6y, x²y, y² sono ad esempio dei monomi. Ok, sin qui è tutto semplice. E se invece dovessimo trovarci di fronte a più lettere differenti? In questo caso staremmo parlando di un "polinomio", vale a dire della somma algebrica di più monomi. Vi state confondendo? Ecco un rapido esempio: 3x+5x-2x equivale ad un monomio, visto che la parte letterale è sempre la stessa, ed il risultato sarà ovviamente 6x. 3x+5y è invece un polinomio, nello specifico un "binomio" dato che presenta due differenti monomi. Quando i monomi saranno tre ci troveremo di fronte ad un "trinomio", quando saranno quattro ad un "quadrinomio". Nella seguente guida verrà illustrato il modo più semplice per calcolare il cubo di un polinomio, così da non scoraggiare nemmeno gli studenti più in difficoltà.

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Cos'è il cubo di un polinomio?

Come nelle espressioni matematiche non letterali, per calcolare il cubo di un polinomio dovremo moltiplicarlo tre volte per se stesso. La regola dei polinomi permette però di calcolare il prodotto senza dovere per forza complicarci la vita con la moltiplicazione sopracitata. Potremo dunque affermare che il cubo di un polinomio, di un numero qualunque di termini, è un polinomio che come termini può presentare i cubi di tutti i termini (a³+b³+c³), i tripli dei quadrati di ciascun termine per ognuno degli altri (3a²b+3a²c+3b²a+3b²c3b²c+3c²a+3c²b) o i sestupli dei prodotti dei termini presi a tre a tre (6abc).

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Calcoliamo un cubo di polinomio

Veniamo alla parte tecnica con un esempio che vi farà comprendere al meglio quanto scritto in precedenza. Vediamo come calcolare il cubo del trinomio (a+b+c) ³, ossia un polinomio costituito da tre monomi differenti. Cominciamo con il considerare i cubi di ogni singolo termine: ci troveremo quindi di fronte all'espressione a³+b³+c³. Continuiamo con i tripli dei quadrati di ciascun termine del trinomio moltiplicati per ognuno degli altri, ovvero: 3a²b+3a²c+3b²a+3b²c3b²c+3c²a+3c²b. Infine, passiamo ai sestupli dei prodotti dei termini presi a tre a tre, ovvero 6abc. Per concludere, (a+b+c) ³= a³+b³+c³+3a²b+3a²c+3b²a+3b²c+3c²a+3c²b+6abc.

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Il prodotto notevole

Durante le lezioni di algebra che vi avranno lasciati maggiormente confusi, probabilmente avrete sentito parlare di "prodotto notevole": ecco, non è altro che il cubo di un polinomio. Il prodotto notevole è, in pratica, una particolare variante di operazione che ci serve a calcolare il prodotto dei polinomi senza dovere per forza utilizzare la regola letterale. Nel caso del cubo, ad esempio, quest'ultima consiste nel moltiplicare tre volte il polinomio per se stesso. Sono prodotti notevoli anche il quadrato di un binomio, il quadrato di un trinomio e il cubo della somma di due monomi. Riconoscere il prodotto notevole ci sarà molto utile per scomporre in fattori semplici un polinomio o altre espressioni algebriche. Non vi resta che provare a mettere in pratica questi consigli e stupire i vostri insegnanti!

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