Come calcolare il coefficiente di correlazione

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In statistica, uno dei comportamenti più studiati è quello delle variabili casuali. Queste dipendono da diversi fattori che spesso influenzano contemporaneamente il loro andamento. Se due o più variabili sono correlate fra loro, potremo determinare in parte l'andamento di una osservando semplicemente quello dell'altra. Questo evento in matematica viene definito correlazione: la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ossia, a covariare. Quando parliamo di correlazione, tuttavia, dobbiamo considerare due aspetti: il tipo di relazione che c'è tra le due variabili e la forma di questa relazione. Nei passi seguenti, quindi, vi illustreremo proprio come calcolare il coefficiente di correlazione tra due variabili.

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Certe volte può accadere che due variabili si comportino nella stessa maniera, ma non è detto che tra di loro vi sia necessariamente un legame di causa effetto. In questo caso, dunque, anche se c'è una correlazione, questa potrebbe non avere molto senso. I valori attesi e le varianze delle variabili si possono stimare calcolando la media e la varianza campionaria. Il coefficiente di correlazione lineare (indicato con "ρ"), quindi, si può stabilire in modo indiretto, introducendo le stime di tutti gli elementi in esso presenti.

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In pratica, se troviamo una correlazione tra il numero di incidenti avvenuti durante un anno e il numero di macchine in circolazione, la nostra correlazione potrebbe avere sicuramente un legame di tipo causa-effetto (tanti incidenti-tante macchine in circolazione). Al contrario, se dovessimo trovare una correlazione tra il numero di persone calve e la quantità di penne prodotte annualmente, questa correlazione non sarà determinata da un rapporto di causa-effetto e per di più sarà priva di significato.

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La correlazione ta due o più variabili si calcola attraverso il coefficiente di correlazione di Pearson-Bravais: che è dato dal rapporto tra la covarianza delle variabili e il prodotto dei loro scarti quadratici medi.
La covarianza, in linee generali, fornisce un indice della dipendenza tra due variabili; gli scarti quadratici medi, invece, ci dicono quanto le distribuzioni delle variabili si discostino dalla media. Il risultato che avremo, ovvero il nostro coefficiente di correlazione, sarà sempre compreso tra -1 e 1.

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Una volta compresi questi concetti, veniamo come calcolare il coefficiente di correlazione attraverso la formula matematica di Pearson-Bravais: ρAB = Cov (A, B) / σA x σB. Dove ρAB indica il coefficiente di correlazione o indice di Pearson-Bravais; Cov (A, B) è la covarianza delle nostre variabili A e B; mentre, σA e σB rappresentano la deviazione standard campionaria delle due variabili.

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I risultati che avremo da questa formula saranno semplicemente di tre tipi:
se ρAB > 0 allora A e B sono direttamente correlate; se ρAB = 0 A e B non sono correlate; e infine, se se ρAB < 0 allora A e B saranno inversamente correlate. Ciò significa che, più l'indice ρAB è prossimo a 1, più le due variabili sono correlate; al contrario, se ρAB si avvicina a -1 vuol dire che le nostre variabili sono fortemente e inversamente correlate.

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