Come calcolare il coefficiente binomiale

Tramite: O2O 07/03/2018
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Lo sappiamo, una volta iniziato il percorso scolastico, la matematica rischia di diventare una di quelle materie che ci accompagnerà per un lungo periodo. Cominciamo a studiarla alle elementari, per poi sperimentare argomenti sempre più complessi via via che saliamo di livello, toccando argomenti di altissima complessità, a seconda degli studi prescelti, fino agli anni universitari. Va da se che costruendo un edificio solido di procedure, il suo peso come materia cala notevolmente. Di cosa parleremo in questa guida? Nello specifico, in questa guida, parleremo di un argomento che risulta essere oggetto di studio nei programmi di tutti i licei scientifici, tanto da arrivare molto spesso ad esser assegnato alle prove di maturità. Si tratta del calcolo del coefficiente binomiale. Vedremo, brevemente, come procedere per calcolare questo coefficiente, aiutandoci con un esempio applicativo ed addentrandoci negli schemi che stanno alla base del calcolo.

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Principio

La matematica offre molte soluzioni per semplificare i calcoli più ostici, ma in alcuni casi la cura sembra peggiore della malattia. Il coefficiente binomiale è apparentemente molto difficile da calcolare, tuttavia permette una notevole semplificazione nella stima delle potenze dei binomi e della statistica. Partiamo dal riportare la regola generale (che bisogna conoscere assolutamente per poter procedere alla risoluzione del quesito), ovvero "il coefficiente binomiale "n su k" è uguale a n fattoriale diviso k fattoriale per n meno k fattoriale", ovvero "n/k = n!/k! (n-k)!", dove il simbolo "!" si legge come "fattoriale". Il fattoriale è una funzione particolare che tende velocemente all'infinito, molto più della funzione esponenziale, per esempio, ed è data dal prodotto di tutti i numeri interi che precedono l'argomento, compreso quest'ultimo. Questo valore va a darci il numero di sottoinsiemi che possiamo formare partendo da un insieme formato da "n" elementi. Ovviamente al crescere di n tale valore sale molto rapidamente fino a diventare quasi impossibile da calcolare in tempi brevi.

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Triangolo di Tartaglia

Senza dubbio, ricordare qualche relazione in cui ci si imbatte spesso, potrà essere utile. La prima è una proprietà di simmetria dei coefficienti binomiali che dice sostanzialmente questo: "n su k è uguale a n su n meno k". Quest relazione va tenuta a mente sempre per la sua grande diffusione e perché se si va ad implementare un algoritmo su calcolatore è cruciale sfruttarla per ridurre il carico computazionale. La seconda relazione fondamentale questa: i coefficienti binomiali non sono altro che le righe e le colonne del famoso Triangolo di Tartaglia. Sicuramente nel percorso di studi avrete già incontrato il Triangolo di Tartaglia, e probabilmente lo avrete ritenuto poco più che una simpatica curiosità della storia della matematica priva di applicazioni pratiche, invece è stato uno strumento di calcolo fondamentale per intere generazioni di studiosi. Quindi, tutte le proprietà che valgono per il Triangolo di Tartaglia, avranno applicazione tramite una riformulazione, in termini di coefficienti binomiali. Il grosso vantaggio che, comunque, questi hanno è che si possono trovare immediatamente i coefficienti della riga interessata, senza dover precedentemente sviluppare tutte le righe le righe antecedenti. Si tratta, perciò, di un metodo più rapido. Detto questo, vediamo un po' come si affronta il calcolo vero e proprio del coefficiente binomiale che proprio il suo nome allo sviluppo di potenze di binomi. B

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Esempio applicativo

Quanto riportato fino ad ora può non essere molto chiaro senza passare alla pratica del calcolo per vedere direttamente che cosa succede. Facciamo quindi un semplice esempio numerico. Immaginiamo di dover risolvere uno dei quesiti tipici di quest'argomento, ovvero, di dover calcolare il numero "n" maggiore di 3 e appartenente ai numeri naturali e coefficienti binomiali "n/n-1", "n/n-2" e "n/n-3".
Facendo ricorso alla definizione sappiamo che "n/k = n!/(n-k)! K!, ovvero che il coefficiente binomiale è definito da n fattoriale fratto n meno k fattoriale, moltiplicato per k fattoriale. Detto questo, andiamo a riscrivere i 3 coefficienti binomiali e sviluppiamoli. Il calcolo applicato, ed il risultato che ne consegue, può essere riassunto in questo modo.
(n/n-1) = n!/(n-n+1)! (n-1)! = n (n-1)!/(n-1)!. Dopo le relative semplificazioni si ha il risultato "n".
(n/n-2) = n!/(n-n+2)! (n-2)! = n (n-1)(n-2)!/2(n-2)! = n (n-1)/2
(n/n-3) = n!/(n-n+3)! (n-3)! = n (n-1)(n-2)(n-3)/6(n-3)! = n (n-1)(n-2)/6

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Proseguendo nei calcoli

Se andiamo considerando che i tre coefficienti binomiali che abbiamo appena trovato attraverso il calcolo soprastante sono in progressione aritmetica, potremo denominarli rispettivamente a1, a2 e a3. Per definizione, sappiamo che "a2-a1 = a3-a2". Quindi, procediamo scrivendo "n (n-1)/2-n = n (n-1)(n-2)/6-(n-1)/2". Tutti i termini, a questo punto, risultano essere divisibili per "n" e conseguentemente, potranno essere semplificati.
Dall'applicazione della semplificazione, otteniamo "(n-1-2)/2 = (n2-2n-n+2-3n+3)/6". Sviluppiamo tale equivalenza, "3n-9 = n2-6n+5". Nel proseguo, giungiamo ai due risultati possibili, ovvero 2 e 7. Il 2 è una soluzione che non è possibile accettare (perché da premessa "n" doveva essere maggiore di 3, e, quindi, il risultato per n sarà "7". Sostituendo tale valore a "n" nei coefficienti binomiali troviamo il loro valore: a1=7, a2=21, a3=35.
A questo punto, il calcolo è terminato.
Visitate anche: https://library.weschool.com/lezione/quali-sono-proprieta-del-coefficiente-binomiale-calcolare-con-formule-9436.html

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Implicazioni

Il coefficiente binomiale può essere implementato in maniera molto semplice come calcolo ricorsivo all'interno di un programma. In particolare è utile nelle stime statistiche è nell'interpolazione polinomiale delle funzioni che costituisce uno strumento utilizzato per approssimare in maniera efficace una serie di dati, costruendo gruppi di polinomi che ricalcano l'andamento di una funzione. Altre applicazioni del coefficiente binomiale sono nella predizione dell'andamento di un sistema caotico in cui gli stati possibili crescono rapidamente. La comprensione di questo strumento di calcolo è quindi cruciale per il risparmio di tempo e l'ottimizzazione per esempio dei programmi di grafica e animazione. In ogni caso anche la semplice applicazione come generatore di potenze di binomio è un utile esercizio per sviluppare elasticità mentale.

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Consigli
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  • Sviluppate prima argomenti più semplici, per poi arrivare a questi più complessi.
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