Come calcolare il coefficiente binomiale

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Lo sappiamo, una volta iniziato il percorso scolastico, la matematica è una di quelle materie che ci accompagnerà per un lungo periodo. Cominciamo a studiarla alle elementari, per poi sperimentare argomenti sempre più complessi via via che saliamo di livello, toccando argomenti di altissima complessità, a seconda degli studi prescelti, fino agli anni universitari. Di cosa parleremo in questa guida? Nello specifico, in questa guida, parleremo di un argomento che risulta essere oggetto di studio nei programmi di tutti i licei scientifici, tanto da arrivare molto spesso ad esser assegnato alle prove di maturità. Si tratta del calcolo del coefficiente binomiale. Vedremo, brevemente, come procedere per calcolare Vediamo, in breve, come procedere per calcolare questo valore, stando attenti a far richiamo alla regola generale e passando attraverso un esempio pratico.

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Cominciamo col ammettere che il calcolo del coefficiente binomiale non sia esattamente tra gli argomenti più facili che la matematica proponga. Tuttavia, partiamo dal citare la regola generale (che bisogna conoscere assolutamente per poter procedere alla risoluzione del quesito), ovvero "il coefficiente binomiale "n su k" è uguale a n fattoriale diviso k fattoriale per n meno k fattoriale", ovvero "n/k = n!/k! (n-k)!", dove il simbolo "!" si legge come "fattoriale". Questo valore va a darci il numero di sottoinsiemi che possiamo formare partendo da un insieme formato da "n" elementi.

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Senza dubbio, ricordare qualche relazione in cui ci si imbatte spesso, potrà essere utile. La prima è una proprietà di simmetria dei coefficienti binomiali che dice sostanzialmente questo: "n su k è uguale a n su n meno k". La seconda relazione fondamentale questa: i coefficienti binomiali non sono altro che le righe e le colonne del Triangolo di Tartaglia. Il triangolo di Tartaglia l'avrete sicuramente appreso durante il vostro percorso scolastico durante il triennio alle scuole medie. Quindi, tutte le proprietà che valgono per il Triangolo di Tartaglia, avranno applicazione tramite una riformulazione, in termini di coefficienti binomiali. Il grosso vantaggio che, comunque, questi hanno è che si possono trovare immediatamente i coefficienti della riga interessata, senza dover precedentemente sviluppare tutte le righe le righe antecedenti. Si tratta, perciò, di un metodo più rapido. Detto questo, vediamo un po' il calcolo vero e proprio.

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Facciamo un esempio. Immaginiamo di dover risolvere uno dei quesiti tipici di quest'argomento, ovvero, di dover calcolare il numero "n" maggiore di 3 e appartenente ai numeri naturali e coefficienti binomiali "n/n-1", "n/n-2" e "n/n-3".
Tramite ricorso alla definizione sappiamo che "n/k = n!/(n-k)! K!, ovvero che il coefficiente binomiale è definito da n fattoriale fratto n meno k fattoriale, moltiplicato per k fattoriale. Detto questo, andiamo a riscrivere i 3 coefficienti binomiali e sviluppiamoli. Il calcolo applicato, ed il risultato che ne consegue, può essere riassunto in questo modo.
(n/n-1) = n!/(n-n+1)! (n-1)! = n (n-1)!/(n-1)!. Dopo le relative semplificazioni si ha il risultato "n".
(n/n-2) = n!/(n-n+2)! (n-2)! = n (n-1)(n-2)!/2(n-2)! = n (n-1)/2
(n/n-3) = n!/(n-n+3)! (n-3)! = n (n-1)(n-2)(n-3)/6(n-3)! = n (n-1)(n-2)/6

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Se andiamo considerando che i tre coefficienti binomiali che abbiamo appena trovato attraverso il calcolo soprastante sono in progressione aritmetica, potremo denominarli rispettivamente a1, a2 e a3. Per definizione, sappiamo che "a2-a1 = a3-a2". Quindi, procediamo scrivendo "n (n-1)/2-n = n (n-1)(n-2)/6-(n-1)/2". Tutti i termini, a questo punto, risultano essere divisibili per "n" e conseguentemente, potranno essere semplificati.
Dall'applicazione della semplificazione, otteniamo "(n-1-2)/2 = (n2-2n-n+2-3n+3)/6". Sviluppiamo tale equivalenza, "3n-9 = n2-6n+5". Nel proseguo, giungiamo ai due risultati possibili, ovvero 2 e 7. Il 2 è una soluzione che non è possibile accettare (perché da premessa "n" doveva essere maggiore di 3, e, quindi, il risultato per n sarà "7". Sostituendo tale valore a "n" nei coefficienti binomiali troviamo il loro valore: a1=7, a2=21, a3=35.
A questo punto, il calcolo è terminato.
Visitate anche: http://www.oilproject.org/lezione/quali-sono-proprieta-del-coefficiente-binomiale-calcolare-con-formule-9436.html

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Sviluppate prima argomenti più semplici, per poi arrivare a questi più complessi.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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