Come calcolare il coefficiente angolare di una retta tangente

Tramite: O2O 03/05/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

In geometria analitica ma anche in caso di studio di funzioni semplici o a più variabili capita spesso che si entri in contatto con le rette, e ovviamente nel calcolo di una particolare retta, magari richiesta dal problema, che deve essere tangente ad una nostra funzione. Lavorando sul piano cartesiano quindi, in qualsivoglia materia scientifica, ci si imbatte spesso nel calcolo del coefficiente angolare delle rette (che è possibile eseguire in svariati modi in base alla tipologia di dati che ci vengono offerti dal problema ma anche dalla varietà di questo ultimo) che si stanno trattando. In questa guida vedremo come calcolare il coefficiente angolare di una retta tangente a qualsiasi curva o dato un particolare riferimento. Muniamoci dunque di carta e penna e iniziamo.

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Occorrente

  • Fogli
  • Penna
  • Calcolatrice
  • Goniometro
  • Righello
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Definizione

Prima di iniziare a spiegare come calcolarlo è doveroso fare un breve accenno a cosa sia innanzitutto il coefficiente angolare di una retta. Il coefficiente angolare è quel valore, detto puro (e cioè privo quindi di unità di misura) che esprime una informazione circa l'angolazione di una retta nel piano cartesiano. Prendiamo in considerazione la generale espressione analitica di una retta: ax + by + c = 0 (dove a è il coefficiente di x, b quello di y e c il termine noto). Il coefficiente angolare, che d'ora in poi indicheremo con k, viene calcolato con la seguente formula: k= - a/b. Da notare che nel caso in cui b fosse 0, k tenderebbe a infinito, quindi avremo una retta parallela all'asse y. Se invece a fosse 0 allora anche k risulta avere come valore 0, e la retta sarà parallela all'asse x. Il coefficiente angolare può quindi passare da 0 a infinito.

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Il calcolo

Ora veniamo al nostro problema. Questo spesso si presenta con la richiesta di calcolare il coefficiente della retta partendo da una funzione nota o che viene data dal problema. Si parte dal caso semplice di una circonferenza fino ad arrivare a curve sempre più complesse. Quello che in realtà dobbiamo fare è calcolare l'espressione analitica della retta per poi calcolarne il coefficiente angolare. Sappiamo infatti che la retta è tangente alla curva, ovvero che retta e curva hanno un solo punto in comune. Troviamo quindi l'equazione generale di una retta tangente alla curva data, impostando un sistema tra l'equazione della curva e quella di una retta generica. Applicando il metodo di sostituzione, troviamo la risultante, ovvero un'equazione di secondo grado, e imponiamo che abbia una sola soluzione, ponendo il discriminante uguale a zero. Così facendo ricaviamo a in funzione di b (b=a+r).

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Svolgimento

Abbiamo dunque l'equazione generale di una retta tangente alla curva data. Se prima della nostra retta sapevamo solo che ax+by+c=0, ora sappiamo che ax+(a+r) y+c=0. Ora il problema fornirà di certo le coordinate del punto di tangenza o di un qualsiasi altro punto appartenente alla retta. Basterà dunque sostituire nell'equazione le coordinate del punto noto per ricavare i valori di a e di b.Una volta trovati questi valori il gioco è fatto, basta applicare la formula k=-a/b per calcolare il coefficiente angolare.

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Risoluzione grafica

Esiste un metodo molto semplice e veloce per verificare il risultato ottenuto. Prolunghiamo la tangente fino ad incontrare l'asse delle ascisse e misuriamo con un goniometro l'ampiezza dell'angolo che viene a formarsi. Con una calcolatrice calcoliamo poi la tangente di tale angolo. Se il problema è stato svolto correttamente, tale risultato e il coefficiente angolare coincideranno.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per orientarsi nella risoluzione di un problema di tipo analitico è sempre consigliabile realizzare un disegno affidabile della situazione e procedere a piccoli passi nel procedimento.
  • Scrivere con chiarezza ogni passaggio
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