Come calcolare il circocentro di un triangolo scaleno

Tramite: O2O 15/02/2021
Difficoltà:media
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Introduzione

La matematica croce e delizia di tutti i liceali e non solo torna ad essere argomento delle nostre guide. Se è capitato infatti anche a te di passare il pomeriggio su quel problema di matematica e ancora non torna, questo è davvero l'articolo che fa al caso tuo. Dimentica infatti il tempo perso contro semplici problemi che riuscirai a risolvere in maniera efficiente grazie ad una spiegazione molto utile e rapida. Il circocentro di un triangolo è il punto nel piano equidistante dai tre vertici del triangolo. Poiché un punto equidistante da due punti si trova sulla bisettrice perpendicolare del segmento determinato dai due punti, il circumcentro (etichettato sotto) è il punto di concorrenza delle tre bisettrici perpendicolari di ciascun lato del triangolo.Vediamo quindi insieme come calcolare il circocentro di un triangolo scaleno. Segui i vari passi di questa guida e risolvi i tuoi problemi di matematica. Inoltre al termine dell'articolo imparerai anche un utilissimo trucchetto per verificare se hai risolto il problema nel modo giusto.

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Occorrente

  • Foglio
  • Penna
  • Calcolatrice
  • matita
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Calcolare il punto di mezzo

La costruzione di base del circumcenter serve a identificare i punti medi del triangolo originale. Il circumcenter è stato costruito identificando i punti medi dei segmenti AC, CD e DA. Quindi una linea perpendicolare è stata tracciata attraverso i punti medi perpendicolari al segmento laterale.
Questo particolare esempio è di un triangolo scaleno acuto. Esploriamo ora cosa succede al circumcenter in altri tipi di triangoli.
Per prima cosa diamo un'occhiata a un triangolo rettangolo. Iniziamo con il conoscere il nemico e quindi partiamo dalle definizioni. Innanzitutto, un triangolo scaleno è un triangolo i cui lati hanno tutti misure differenti. Invece, il circocentro di un triangolo è definito come il centro del cerchio circoscritto attorno al triangolo. Cioè, disegnando un cerchio tangente ai tre apici del triangolo, vedremo che il centro del cerchio rappresenterà proprio il circocentro. Questo punto coincide inoltre con il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo ed è un punto notevole di queste figure geometriche. Un asse è una retta perpendicolare al lato condotta a partire dal suo punto di mezzo. Per calcolare il punto di mezzo di un lato, è necessario conoscere gli apici.

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Calcolare le equazioni

A questo punto dovremo calcolare le equazioni che rappresentano due assi, appartenenti a due diversi lati del triangolo scaleno. Per farlo è necessario conoscere il punto di mezzo (e quindi la lunghezza) dei due lati e il loro coefficiente angolare. Questi si possono trovare conoscendo le coordinate degli apici del triangolo. Si dovrà quindi calcolare prima l'equazione del fascio di rette passanti per il punto di mezzo del lato. Poiché l'asse è perpendicolare al lato, inoltre, la sua equazione avrà un coefficiente angolare reciproco e opposto rispetto a quello del lato da cui è condotto. Adesso dovremmo avere due equazioni, rappresentanti i due assi che abbiamo scelto. Il circumcircle passa sempre per tutti e tre i vertici di un triangolo. Il suo centro è nel punto in cui si incontrano tutte le bisettrici perpendicolari dei lati del triangolo. Questo centro è chiamato circumcenter. Vedi circumcentro di un triangolo per ulteriori informazioni su questo.
Nota che il centro del cerchio può essere all'interno o all'esterno del triangolo. Regola il triangolo sopra e cerca di ottenere questi casi.
Il raggio del circumcircle è anche chiamato circumradius del triangolo.

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Calcolare le coordinate

l circumcentro di un triangolo isoscele ottuso è esterno al triangolo e la bisettrice perpendicolare passa attraverso l'angolo ottuso del triangolo. Notiamo anche da dove prende il nome il circumcenter. Il circumcenter è anche il centro del cerchio all'interno del quale è circoscritto il triangolo. Potresti chiederti: "Cosa significa circoscritto?" Diamo un'occhiata all'immagine del nostro triangolo e del suo circumcircle. Siamo finalmente arrivati all'ultimo passaggio: troviamo le coordinate del nostro circocentro! Poiché si tratta del punto in comune fra gli assi del triangolo, dovremo ottenere le soluzioni comuni ad entrambe le equazioni degli assi. Per farlo è necessario mettere a sistema le nostre due equazioni e svolgere il sistema. Le due soluzioni rappresenteranno le coordinate x e y del circocentro. Ed ecco che il problema è risolto!
Un piccolo trucco, da usare per confermare se abbiamo percorso la strada giusta: quando il triangolo ha tutti gli angoli acuti, il circocentro sarà al suo interno, quando il triangolo è ottusangolo sarà all'esterno, quando il triangolo è retto l'ortocentro è il punto medio dell'ipotenusa. Ricordi quindi tali piccole regoline e la matematica non avrà più segreti per te!

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