Come calcolare il centro di una circonferenza

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La geometria e la matematica sono materie vaste e molto interessanti che consentono di comprendere moltissimi fenomeni. Se queste branche del sapere non sono proprio il vostro forte, magari troverete delle difficoltà a calcolare aree, circonferenze, angoli e quanto altro abbia a che fare con le figure. Niente paura, questa guida fa al caso vostro e cercherà di introdurvi un minimo alla logica che si trova sotto i metodi. Con pochi e semplici passaggi, e qualche consiglio, vi illustrerò tutte le operazioni da compiere per riuscire a calcolare il centro di un circonferenza, così che possiate, in seguito, riuscire a risolvere anche un problema geometrico complesso. La geometria del cerchio è infatti molto importante anche al di fuori della scuola. I metodi che utilizzeremo saranno quello classico del circocentro e quello analitico. Ambedue i metodi sono utili a livello didattico ma hanno applicazioni anche nella pratica. Vediamo quindi come calcolare e determinare il centro di una circonferenza impiegando un approccio generale, adatto per le scuole medie basato su riga e compasso ed uno avanzato più astratto che si presta anche per i licei e le scuole superiori in generale.

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Occorrente

  • Compasso
  • Righello
  • Matita
  • Gomma
  • Carta millimetrata
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Metodo geometrico

Questo metodo si basa sulle proprietà dei triangoli, e ci serviranno compasso e squadra. Ogni triangolo può essere inscritto in una circonferenza ed ha proprietà ampiamente studiate che possono essere impiegate in maniera molto proficua. Per prima cosa si traccia la circonferenza di cui andare a trovare il centro. Ignorando naturalmente il buco lasciato dal compasso, che in un problema reale non sarebbe visibile, iniziamo costruendo un triangolo qualsiasi che abbia i tre vertici che insistono sulla circonferenza. Per comodità cerchiamo di evitare i triangoli ottusi e quelli rettangoli, ma il principio vale anche per essi. Con l'aiuto della squadra si deve tracciare la perpendicolare che unisce uno dei lati all'angolo opposto. Le tre perpendicolari si uniscono in un punto che è il centro esatto della circonferenza. Si può verificare per esercizio che il principio funziona per ogni triangolo, ricordando che nel caso di ottusangoli si deve prevedere di allungare i lati perché le perpendicolari non saranno tutte interne al triangolo. Non è l'unico metodo geometrico che si basa sui triangoli ma sicuramente il più semplice.

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Metodo analitico

Una grossa branca della matematica e della geometria, detta analitica, non contempla l'uso di rappresentazioni grafiche obbligatorie. In questo caso si fa uso di formule espresse sotto forma letterale, ed è molto importante riuscire a padroneggiarle. In questa disciplina i luoghi dei punti sono descritti in modo particolare con l'uso di relazioni e definizioni generali In questo ambito la circonferenza è una così detta "conica", cioè una curva ottenuta intersecando un cono con un piano. Le altre coniche sono la parabola, l'iperbole e l'ellisse. La circonferenza è la conica generata quando il piano è perpendicolare all'asse di rotazione di un cono retto con angolo di apertura qualsiasi. La circonferenza può quindi anche essere espressa in forma analitica, tramite una relazione numerica. La formula generale sarà del tipo x^2+y^2+a*x+b*y+c=0. Parlando dal unto di vista della geometria del piano, la formula descrive una circonferenza di raggio c traslata lungo una retta. Il calcolo è elementare, perché il centro si trova alle coordinate (-a/2, -b/2). Procedendo a ritroso infatti la formula deriva da un'espressione del tipo (x+a/2)^2+(y+a/2)^2=r^2 dove i termini noti sommati daranno appunto il valore di "c". Il calcolo è semplicissimo e non si richiedono particolari conoscenze di analisi matematica, ma la padronanza degli strumenti di calcolo è indispensabile per riuscire a comprendere la soluzione.

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Note

Esistono molti altri metodi per il calcolo del centro di una circonferenza, fra cui la costruzione di un triangolo con i lati tangenti alla circonferenza che sfrutta le bisettrici degli angoli, quello che sfrutta le mediane dei lati e sistemi basati su riga e compasso, ma si tratta per lo più di soluzioni adatte solo all'esercizio. Ci sono anche sistemi che sfruttano indirettamente le proprietà dei triangoli tracciando archi di circonferenze e verificandone l'intersezione. Il metodo analitico è sicuramente il più semplice, in particolare perché permette di riportare rapidamente ogni circonferenza a quella centrata nell'incrocio degli assi con un rapido cambio di coordinate, molto utile soprattutto nella fisica dei corpi rotanti. Da notare che l'importanza del calcolo del centro della circonferenza si estende ben oltre l'impiego in ambito scolastico. La padronanza degli strumenti acquisiti è importantissima anche per affrontare problemi di ordine ingegneristico e forme astratte di calcolo che si possono facilmente implementare anche via software. Si consiglia comunque di affrontare il problema affiancandosi ad un tool di visualizzazione come Geogebra, che aiuta molto nella comprensione del comportamento delle curve ed apre prospettive successive di implementazione. Con questo tool, in particolare se guidati da una persona esperta si possono anche comprendere le relazioni che legano le coniche alla circonferenza con l'ausilio di un riscontro diretto.

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