Come calcolare i prodotti notevoli

Tramite: O2O 26/07/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

L'algebra è una materia che può spaventare gli studenti che vi si approcciano senza basi consolidate. Tuttavia, con una buona spiegazione e tanti esercizi, risulterà meno difficoltosa e più divertente di quanto possa sembrare all'inizio. In questa guida vedremo come calcolare i prodotti notevoli, riferendoci quindi a quelle formule matematiche utilizzate nel calcolo della moltiplicazione dei polinomi algebrici che consentono di risolvere gli esercizi facilmente e senza errori. Spesso le scorciatoie non sono educative per gli studenti, ma in questo caso sarete premiati dai vostri insegnanti se riuscirete a utilizzarle correttamente.

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Occorrente

  • Libro di algebra con esercizi
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Quadrato di binomio con somma e con differenza

Premesso che il simbolo informatico "^" si traduce in lingua italiana con "elevato a", il prodotto notevole chiamato quadrato di binomio vede la seguente regola:
dato che (A+B)^2 = (A+B)(A+B) otteniamo

A^2 + AB + BA + B^2 e quindi, addizionando i simili viene A^2 + 2AB + B^2.
Allo stesso modo, calcolando la differenza avremo che:(A-B)^2 = (A+(-B))^2A^2 +2A (-B) + -B^2 che è uguale a A^2 - 2AB + B^2
Per facilitare i calcoli, dunque, si può utilizzare direttamente questo risultato in tutti gli esercizi in cui ci si trova davanti un quadrato di binomio con somma o con differenza.
La regola di questi prodotti notevoli tradotta in parole sarà:
"Il quadrato di binomio coincide con il primo termine al quadrato, più il prodotto doppio del primo termine con il secondo a cui si aggiunge il secondo termine al quadrato".

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Cubo di binomio con somma e con differenza

In presenza di un cubo di binomio con somma (A+B)^3 o con differenza (A-B)^3 avremo anche qui una semplificazione utilizzando le regole dei prodotti notevoli.Il cubo di binomio è uguale al primo termine al cubo, più il triplo prodotto del primo termine al quadrato per il secondo, più il quadrato del secondo termine per tre volte il primo, più il secondo termine al cubo. In termini matematici, ciò si esprime con: A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3.Se dovessimo fare manualmente tutti i calcoli, infatti, rischieremmo di commettere degli errori di distrazione e di allungare molto i tempi nella risoluzione degli esercizi. Dovremo infatti scrivere:(A+B)^3= (A+B)(A+B)(A+B) e risolvere questi prodotti, quindi: A^2 + AB + BA + B^2 (A+B)= A^2 + 2AB + B^2 (A+B)=A^3 + A^2B + 2A^2B + 2AB^2 + AB^2 + B^3 per poi arrivare alla fine con A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3.
Lo stesso discorso vale per il cubo di binomio con differenza espresso con (A-B)^3 dove, utilizzando la regola dei prodotti notevoli avremo semplicemente da applicare il risultato di articolati calcoli manuali: A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3.

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Differenza di quadrati e regole avanzate

La differenza di quadrati non è altro che il prodotto tra somma e differenza di due monomeri. In termini matematici, questo si esprime con (A+B)(A-B) = A^2 - B^2. La regola da applicare qui è semplicemente una eliminazione dei termini simili che sarebbero ottenuti svolgendo l'esercizio senza l'utilizzo dei prodotti notevoli. Avremmo avuto, infatti: A^2 - AB + AB + B^2. -AB e +AB vengono eliminati e quello che resta è semplicemente il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.Di solito, queste sono le regole dei prodotti notevoli iniziali per approcciare allo studio dell'algebra e risolvere gli esercizi più elementari. Una volta acquisiti questi, potrete applicare le regole avanzate per la somma dei cubi o le differenze dei cubi di cui riporto esclusivamente la regola dei prodotti notevoli senza la spiegazione:A^3 + B^3= (A+B)(A^2-AB+B^2) e quindi prodotto tra la somma delle basi e un trinomio dato dal quadrato di binomio con segno meno al termine misto (in alcuni libri di algebra si parla di falso quadrato di binomio).Allo stesso modo A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Esercitarsi molto è il segreto per non commettere errori e risolvere con rapidità i polinomi.
  • Provate a colorare diversamente il primo e il secondo termine, così da renderli più visibili ed evitare di incorrere in errore.
  • Risolvere lo stesso esercizio con un compagno di scuola per poi confrontarsi sul risultato e sullo svolgimento è un ottimo metodo per essere sicuri di applicare correttamente le regole
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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