Come calcolare i limiti di funzioni reali di una variabile reale

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Introduzione

Lo studio della funzione è uno degli argomenti principali della matematica. Per lo studio dei limiti di funzioni reali di una variabile reale bisogna, innanzitutto studiare il dominio, per poi calcolare i limiti nei punti di discontinuità e capire se c'è un asintoto. Il procedimento qui descritto vale per tutte le funzioni reali di variabili reali. Vediamo insieme come procedere.

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Calcolare il dominio della funzione

Per calcolare il dominio della funzione è necessario capire dove la funzione non esiste: nel caso di una funzione fratta, se c'è la x al denominatore è necessario che il denominatore sia diverso da 0. Per esempio (3x+2)/(5-x) in cui il denominatore è 5-x, vuol dire che 5-x deve essere diverso da 0, quindi x diverso da 5. Nello studio delle funzioni, per la rappresentazione grafica, generalmente si calcolano anche i punti di intersezione con gli assi cartesiani. Se il sistema esce indefinito, vuol dire che l'asse è un asintoto. Per calcolare la simmetria di una funzione, invece, si sostituisce la x a meno x, e se la funzione risulta con segno invertito, la simmetria si dice dispari (rispetto al centro degli assi), se la funzione risulta invariata, la simmetria si dice pari (rispetto all'asse delle y).

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Calcolare i limiti della funzione.

Dopo aver fatto i passaggi precedenti, si possono calcolare i limiti della funzione.
Per vedere se esistono asintoti verticali, si fa il limite di x che tende una volta a più infinito, l'altra a meno infinito. Se, sostituendo l'infinito, si ha una forma indeterminata infinito su infinito, si dividono tutte le x per la x col grado più alto. Se la x del numeratore ha un grado maggiore del denominatore, il risultato sarà infinito, se la x del numeratore ha un grado minore di quella del denominatore sarà zero, altrimenti il rapporto è dato dai coefficienti delle x. In qualsiasi caso, se il risultato esce un infinito, vuol dire che la funzione non ha asintoti verticali, quindi tende ad infinito.

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Calcolare gli asintoti

Per calcolare gli asintoti orizzontali, la funzione la si fa tendere ai punti di discontinuità. Se il risultato esce un infinito, vuol dire che il punto in realtà è un asintoto orizzontale (di lì passa un asintoto orizzontale di equazione x= punto), altrimenti è un semplice punto di discontinuità della funzione. Il limite lo si calcola sia per la parte destra che per la parte sinistra del punto. Nel caso degli asintoti orizzontali, ci possono essere dei punti di intersezione. Pertanto, oltre al limite, si fa un sistema fra la retta e l'equazione della funzione, calcolando così il punto.

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