Come calcolare i cateti avendo l'ipotenusa

La geometria piana, generalmente si occupa delle figure geometriche nel piano. Partendo da una retta infatti è possibile costruire i segmenti (ovvero delle porzioni finite di retta) e, con questi, i poligoni (unione di più segmenti). Nella guida che segue parleremo di triangoli e nello specifico come calcolare i cateti avendo già l'ipotenusa.

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• calcolatrice

Il triangolo come ben sappiamo è un poligono formato da tre angoli e tre lati; a seconda del tipo di angolo che contengono si dividono in triangolo ottusangolo, triangolo acutangolo, triangolo rettangolo. Il triangolo rettangolo è un triangolo che possiede al suo interno un angolo retto, cioè misura 90°. Tuttavia il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, mentre gli altri due lati si chiamano cateti. Oltre all'angolo retto, gli altri due angoli interni sono angoli acuti e, la loro somma deve essere uguale a 90°. Ricordiamo che con due triangoli rettangoli possiamo costruire un rettangolo.

A questo punto parliamo del Teorema di Pitagora che ci dice: in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Quest'informazione è fondamentale per calcolare i cateti avendo l'ipotenusa, poiché ci permette di determinare velocemente le formule inverse, cioè le formule che esprimono le aree di ciascun quadrato costruito su uno dei due cateti.

Basandoci dunque sul Teorema di Pitagora, sappiamo che il quadrato costruito sul primo cateto è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa, meno il quadrato costruito sul secondo cateto. Per togliere l'elevazione al quadrato dobbiamo applicare la radice quadrata. Quindi sappiamo che il primo cateto è uguale al valore dell'ipotenusa al quadrato meno il valore del secondo cateto al quadrato, tutto sotto radice.

Se nell'esercizio da svolgere, l'unico dato che abbiamo a disposizione è l'ipotenusa, possiamo avere due possibilità: la prima possibilità prevede che i cateti siano uguali ed entrambi di 45°. In questo caso i due cateti coincidono, quindi invece di utilizzare un equazione a due incognite, possiamo considerare i due cateti come se fosse unico e, chiameremo c. Il cateto c sarà uguale al rapporto dell'ipotenusa con la radice quadrata di 2.

La seconda possibilità che possiamo trovare è quella in cui un cateto misura 30° (cateto minore) e l'altro 60° (cateto maggiore). Il cateto maggiore è uguale al cateto minore moltiplicato per la radice quadrata di 3; il cateto minore è uguale al cateto maggiore diviso la radice quadrata di tre. Tenendo conto di queste relazioni, possiamo stabilire che il cateto maggiore è uguale all'ipotenusa moltiplicata per la radice di 3, tutto diviso 2 e, il cateto minore è uguale all'ipotenusa diviso 2.

• prima di svolgere qualsiasi esercizio di geometria è consigliabile ripasaare la lezione

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