Come calcolare gradiente, rotore e divergenza

In matematica o in fisica, o più in generale nello studio di materie in cui si applica il concetto di campo vettoriale e scalare, si incappa nello studio di alcuni operatori molto particolari, ovvero il gradiente, il rotore e la divergenza. Questi concetti, che all'inizio possono sembrare dei veri enigmi, sono in realtà abbastanza semplici, e bisogna padroneggiarli bene per potersi dedicare allo studio di argomenti più complessi. Tali concetti infatti sono alla base di molte applicazioni. In particolare esistono due teoremi, il teorema di Gauss (o della divergenza) e il teorema di Stokes (o del rotore), che permettono di semplificare rispettivamente degli integrali volumici e superficiali sotto opportune condizioni. Ma iniziamo dai concetti di rotore, gradiente e divergenza, cosa sono? E soprattutto, come si calcolano?

Se per voi sembrano concetti astratti non temete, in questa guida vi mostreremo come calcolare tali operatori.

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In matematica esistono due tipi di numeri, gli scalari, che si trattano allo stesso modo di come siamo abituati a trattare i numeri fin dalle scuole elementari, e poi ci sono i vettoriali, che vengono spesso indicati con un modulo, un verso e una direzione. In realtà i vettoriali indicati tramite questi tre elementi fanno riferimento ad una visualizzazione di un vettore su un piano bi o tridimensionale. Esistono tuttavia altri modi, più completi e corretti, di indicare un vettore.
Come prima cosa bisogna sapere cos'è un vettore. Il vettore è definito come il generico elemento di un campo vettoriale e viene identificato tramite le sue componenti. In un piano tridimensionale avrà quindi le tre componenti x, y e z, ma in generale può avere N in un campo N-dimensionale. Per i scopi didattici che ci poniamo in questa guida, sarà sufficiente far riferimento ad un campo tridimensionale.

I tre operatori sono fondamentalmente tutti delle derivate parziali. Si indicano tutti e tre tramite il simbolo Nabla ∇. Hanno però delle distinzioni. In particolare le distinzioni doverose da fare riguardano il tipo di risultato che ogni operatore produce e il tipo di numero sul quale può essere applicato. Partiamo allora dal più semplice, il gradiente.
Generalmente il gradiente è indice di una dispersione spaziale. Il gradiente è applicabile ai soli scalari o ad una funzione scalare e restituisce un vettoriale o una funzione vettoriale.
Il gradiente di una funzione scalare è spesso definito come quel vettore che ha per componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali.
Il gradiente allora assume tale faccia:
∇f = df/dx i + df/dy j + df/dz k
Dove f è la funzione scalare sulla quale si applica il gradiente, i, j e k sono rispettivamente i versori dell'asse x, y e z, e df/dx, df/dy e df/dz sono le derivate parziali della funzione rispetto a x, y e z.

Ben più complesso ed laborioso è il calcolo del rotore. Questo si applica ai soli vettori e restituisce ancora un vettore. Il verso di tale vettore è coerente con il verso imposto dalla regola della mano destra e il suo modulo (la lunghezza) è il valore della circuitazione del campo vettoriale sul quale è applicato. Quando il rotore di un campo vettoriale è nullo il campo viene detto conservativo.
Il rotore assume allora tale faccia:
∇ x F = i (dFz/dy - dFy/dz) + j (dFx/dz - dFz/dx) + k (dFy/dx - dFx/dy)


Dove la x al primo membro indica il prodotto vettoriale. La F è la funzione vettoriale di componenti Fx, Fy e Fz.

Infine c'è la divergenza. La divergenza restituisce uno scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o convergere verso un punto dello spazio. In coordinate cartesiane tale quantità è la somma delle derivate parziali delle componenti di F lungo le direzioni degli assi:
∇ F = dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz
.

• I concetti illustrati mutano a seconda del tipo di riferimento utilizzato. In questa guida si è utilizzato un riferimento cartesiano perché è il più diffuso, ma a volte sono utilizzati anche riferimenti cilindrici o sferici.

• Gradiente, rotore, divergenza
• Il gradiente, la divergenza e il rotore

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