Come calcolare gradiente, rotore e divergenza

Tramite: O2O 28/01/2018
Difficoltà:media
18

Introduzione

In matematica o in fisica, o più in generale nello studio di materie in cui si applica il concetto di campo vettoriale e scalare, si incappa nello studio di alcuni operatori molto particolari, ovvero il gradiente, il rotore e la divergenza. Questi concetti, che all'inizio possono sembrare dei veri enigmi, sono in realtà abbastanza semplici, e bisogna padroneggiarli bene per potersi dedicare allo studio di argomenti più complessi. Tali concetti infatti sono alla base di molte applicazioni. In particolare esistono due teoremi, il teorema di Gauss (o della divergenza) e il teorema di Stokes (o del rotore), che permettono di semplificare rispettivamente degli integrali volumici e superficiali sotto opportune condizioni. Ma iniziamo dai concetti di rotore, gradiente e divergenza, cosa sono? E soprattutto, come si calcolano?

Se per voi sembrano concetti astratti non temete, in questa guida vi mostreremo come calcolare tali operatori.

28

Occorrente

  • Libro di matematica
38

Riconoscere vettori e scalari

In matematica esistono due tipi di numeri, gli scalari, che si trattano allo stesso modo di come siamo abituati a trattare i numeri fin dalle scuole elementari, e poi ci sono i vettoriali, che vengono spesso indicati con un modulo, un verso e una direzione. In realtà i vettoriali indicati tramite questi tre elementi fanno riferimento ad una visualizzazione di un vettore su un piano bi o tridimensionale. Esistono tuttavia altri modi, più completi e corretti, di indicare un vettore.
Come prima cosa bisogna sapere cos'è un vettore. Il vettore è definito come il generico elemento di un campo vettoriale e viene identificato tramite le sue componenti. In un piano tridimensionale avrà quindi le tre componenti x, y e z, ma in generale può avere N in un campo N-dimensionale. Per i scopi didattici che ci poniamo in questa guida, sarà sufficiente far riferimento ad un campo tridimensionale.

48

Calcolare il gradiente

I tre operatori sono fondamentalmente tutti delle derivate parziali. Si indicano tutti e tre tramite il simbolo Nabla ?. Hanno però delle distinzioni. In particolare le distinzioni doverose da fare riguardano il tipo di risultato che ogni operatore produce e il tipo di numero sul quale può essere applicato. Partiamo allora dal più semplice, il gradiente.
Generalmente il gradiente è indice di una dispersione spaziale. Il gradiente è applicabile ai soli scalari o ad una funzione scalare e restituisce un vettoriale o una funzione vettoriale.
Il gradiente di una funzione scalare è spesso definito come quel vettore che ha per componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali.
Il gradiente allora assume tale faccia:
?f = df/dx i + df/dy j + df/dz k
Dove f è la funzione scalare sulla quale si applica il gradiente, i, j e k sono rispettivamente i versori dell'asse x, y e z, e df/dx, df/dy e df/dz sono le derivate parziali della funzione rispetto a x, y e z.

Continua la lettura
58

Calcolare il rotore

Ben più complesso ed laborioso è il calcolo del rotore. Questo si applica ai soli vettori e restituisce ancora un vettore. Il verso di tale vettore è coerente con il verso imposto dalla regola della mano destra e il suo modulo (la lunghezza) è il valore della circuitazione del campo vettoriale sul quale è applicato. Quando il rotore di un campo vettoriale è nullo il campo viene detto conservativo.
Il rotore assume allora tale faccia:
? x F = i (dFz/dy - dFy/dz) + j (dFx/dz - dFz/dx) + k (dFy/dx - dFx/dy)


Dove la x al primo membro indica il prodotto vettoriale. La F è la funzione vettoriale di componenti Fx, Fy e Fz.

68

Calcolare la divergenza

Infine c'è la divergenza. La divergenza restituisce uno scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o convergere verso un punto dello spazio. In coordinate cartesiane tale quantità è la somma delle derivate parziali delle componenti di F lungo le direzioni degli assi:
? F = dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz
.

78

Guarda il video

88

Consigli

Non dimenticare mai:
  • I concetti illustrati mutano a seconda del tipo di riferimento utilizzato. In questa guida si è utilizzato un riferimento cartesiano perché è il più diffuso, ma a volte sono utilizzati anche riferimenti cilindrici o sferici.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Naviga con la tastiera

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come calcolare il gradiente termico

La scienza definisce generalmente il gradiente come la variazione per unità di lunghezza a cui una determinata grandezza viene sottoposta nella distanza tra due punti dello spazio lungo una direzione. Per fare un esempio in merito, va detto che in meteorologia...
Superiori

Come calcolare il gradiente barico

La forza del gradiente di pressione orizzontale è il singolo termine dinamico più importante nell'equazione di movimento che governa la forzatura dell'atmosfera. È noto che la pendenza di una superficie isobarica è una misura della forza del gradiente...
Superiori

Come calcolare il gradiente di una funzione in un punto

"Perché devo studiare le funzioni?". Chi non ha mai pensato una cosa del genere? Bambini, adolescenti e adulti, la matematica è una disciplina con cui tutti prima o poi devono fare i conti! Sebbene, da ragazzi, ci sembri del tutto inutile studiare la...
Superiori

Come calcolare il potenziale di una funzione

Per molti studenti universitari e delle scuole superiori la fisica è una delle materie più ostiche da studiare e comprendere. Indubbiamente gli argomenti di questa disciplina sono complessi, ma con un certo impegno e un po' di pazienza, i concetti possono...
Superiori

Come calcolare il differenziale di una funzione a due variabili

La parte della matematica che riguarda il calcolo integro-differenziale è forse la più ostica, perché apre improvvisamente ad un mondo no più fatto di relazioni e formule semplici, ma molto libero, specie per quanto riguarda gli spazi di calcolo. In questa...
Superiori

Come calcolare le derivate con la calcolatrice

Le derivate, in matematica, sono uno strumento per calcolare la tangente in un punto ad una funzione, al tempo stesso si possono utilizzare per calcolarne l'andamento, la concavità e la convessità. La derivata di una funzione è a sua volta una funzione,...
Superiori

Come calcolare le derivate parziali miste

In questa guida ti insegnerò come calcolare le derivate parziali miste. Le derivate parziali miste servono nelle funzioni a due variabili per calcolare, per esempio, massimi, minimi e punti di sella. Può sembrare un concetto incredibilmente complesso...
Superiori

Come calcolare il peso atomico di una molecola

Se state studiando chimica e dovete affrontare un esame, un test oppure una interrogazione, sicuramente dovrete imparare a calcolare la massa atomica e la massa molecolare di un atomo o di una molecola. Sebbene si tratti di un calcolo semplice, che non...