Come calcolare gli angoli di un triangolo rettangolo

Risolvere un triangolo rettangolo significa determinare tutti i suoi elementi, cioè i suoi lati ed i suoi angoli, a partire dagli elementi noti. Ovviamente, per quanto riguarda gli angoli, sarà sufficiente conoscere le funzioni goniometriche associate, affinché l'angolo sia univocamente determinato. In questa guida tratteremo i triangoli e precisamente il triangolo rettangolo e le sue caratteristiche, impareremo di quanti gradi misurano i suoi angoli e di come calcolarli, applicando ad essi il Teorema di Pitagora. La somma degli angoli di un triangolo rettangolo è pari 180 gradi, un triangolo si dice rettangolo quando ha un angolo retto; in un triangolo rettangolo il lato opposto all'angolo si chiama ipotenusa, gli altri due lati sono invece detti cateti. Prima di capire come calcolare i relativi angoli di un triangolo rettangolo, cerchiamo di comprendere la natura degli angoli stessi e le loro proprietà.

Per calcolare un lato di un triangolo rettangolo conoscendo gli altri due, si utilizza il Teorema di Pitagora. Se conosciamo soltanto un lato ed un angolo acuto, possiamo utilizzare i rapporti trigonometrici, vale a dire il seno, il coseno e la tangente di questo stesso angolo. In ogni triangolo la somma di due lati è minore di un angolo piatto: BAC < ACD da cui aggiungendo ad ambo i membri l'angolo ACB, otteniamo BAC + ACB < ACD + ACB e quindi, essendo ACD + ACB = 180°, senz'altro risulta BAC + ACB < 180°. Un triangolo può avere un solo angolo retto; infatti se avesse due triangoli retti, la loro somma sarebbe uguale ad un angolo piatto e ciò è assurdo perché in contrasto con il corollario precedente. A maggior ragione possiamo affermare che un triangolo può avere un solo angolo ottuso: infatti, se ne avesse due, la loro somma sarebbe addirittura maggiore di un angolo piatto. Dalle due proprietà ora stabilite, deriva che ogni triangolo ha almeno due angoli acuti.

Fatta questa premessa risulta che in un triangolo rettangolo un angolo è sempre di 90 gradi, quindi per calcolare un angolo applicheremo il Teorema di Pitagora che dice: "in un triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma delle misure dei quadrati degli altri due lati, diminuita o aumentata del doppio del prodotto della misura di uno di questi lati per la misura della proiezione dell'altro sul primo, a seconda che l'angolo opposto al lato considerato sia acuto o ottuso".

Come da immagine a lato si può vedere la formula: d= ? a alla seconda + b alla seconda; a= ? d alla seconda - b alla seconda; b = ? d alla seconda - a alla seconda. Dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo ABH si trae h al quadrato = c al quadrato - c' al quadrato, perciò sostituendo nella relazione precedente si ottiene: a al quadrato = c alla seconda - c' alla seconda + b alla seconda + c' alla seconda - 2 bc' ossia: a alla seconda = b alla seconda + c alla seconda - 2 bc'. Il nostro problema è finalmente completato!

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