Come calcolare gli angoli di un triangolo rettangolo

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Risolvere un triangolo rettangolo significa determinare tutti i suoi elementi, cioè i suoi lati ed i suoi angoli, a partire dagli elementi noti. Ovviamente, per quanto riguarda gli angoli, sarà sufficiente conoscere le funzioni goniometriche associate, affinché l'angolo sia univocamente determinato. In questa guida tratteremo i triangoli e precisamente il triangolo rettangolo e le sue caratteristiche, impareremo di quanti gradi misurano i suoi angoli e di come calcolarli, applicando ad essi il Teorema di Pitagora. La somma degli angoli di un triangolo rettangolo è pari 180 gradi, un triangolo si dice rettangolo quando ha un angolo retto; in un triangolo rettangolo il lato opposto all'angolo si chiama ipotenusa, gli altri due lati sono invece detti cateti. Prima di capire come calcolare i relativi angoli di un triangolo rettangolo, cerchiamo di comprendere la natura degli angoli stessi e le loro proprietà.

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Per calcolare un lato di un triangolo rettangolo conoscendo gli altri due, si utilizza il Teorema di Pitagora. Se conosciamo soltanto un lato ed un angolo acuto, possiamo utilizzare i rapporti trigonometrici, vale a dire il seno, il coseno e la tangente di questo stesso angolo. In ogni triangolo la somma di due lati è minore di un angolo piatto: BAC < ACD da cui aggiungendo ad ambo i membri l'angolo ACB, otteniamo BAC + ACB < ACD + ACB e quindi, essendo ACD + ACB = 180°, senz'altro risulta BAC + ACB < 180°. Un triangolo può avere un solo angolo retto; infatti se avesse due triangoli retti, la loro somma sarebbe uguale ad un angolo piatto e ciò è assurdo perché in contrasto con il corollario precedente. A maggior ragione possiamo affermare che un triangolo può avere un solo angolo ottuso: infatti, se ne avesse due, la loro somma sarebbe addirittura maggiore di un angolo piatto. Dalle due proprietà ora stabilite, deriva che ogni triangolo ha almeno due angoli acuti.

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Fatta questa premessa risulta che in un triangolo rettangolo un angolo è sempre di 90 gradi quindi gli altri due sono rispettivamente di 30 gradi e 60 gradi (per raggiungere la somma complessiva di 180°). Quindi per calcolare un angolo applicheremo il Teorema di Pitagora che dice: "in un triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma delle misure dei quadrati degli altri due lati, diminuita o aumentata del doppio del prodotto della misura di uno di questi lati per la misura della proiezione dell'altro sul primo, a seconda che l'angolo opposto al lato considerato sia acuto o ottuso".

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Come da immagine a lato si può vedere la formula: d= √ a alla seconda + b alla seconda; a= √ d alla seconda - b alla seconda; b = √ d alla seconda - a alla seconda. Dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo ABH si trae h al quadrato = c al quadrato - c' al quadrato, perciò sostituendo nella relazione precedente si ottiene: a al quadrato = c alla seconda - c' alla seconda + b alla seconda + c' alla seconda - 2 bc' ossia: a alla seconda = b alla seconda + c alla seconda - 2 bc'. Il nostro problema è finalmente completato!

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