Come calcolare e disegnare l'omotetia diretta di una figura geometrica

Tramite: O2O 04/08/2017
Difficoltà:facile
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Introduzione

L'omotetia è la trasformazione geometrica di un oggetto sul piano, che riguarda le dimensioni lineari ma non quelle angolari. In questo modo si ottengono ingrandimenti e riduzioni in scala senza deformazioni della forma propriamente detta. L'omotetia è definita diretta se il rapporto di omotetia K è maggiore di zero. Vedremo quindi come calcolare e disegnare l'omotetia di una figura piana.

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Occorrente

  • Software didattico gratuito GeoGebra
  • Carta millimetrata
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Punto P

Per ottenere una omotetia su una figura geometrica F, deve essere fissato un punto P detto centro, e un valore K di trasformazione. Se il valore K è maggiore di uno si ha un ingrandimento, mentre con valori compresi fra zero e uno si ha un rimpicciolimento. Con K uguale a uno si ha una identità ovvero la sovrapposizione della figura risultante all'originale di partenza. Con K uguale a zero si ottiene la sovrapposizione di tutti i vertici della figura F al punto P con annullamento delle informazioni geometriche.

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Quadrilatero

Supponiamo di voler trasformare con una omotetia il quadrilatero rappresentato nella figura qui accanto. Fissiamo il centro di trasformazione in corrispondenza del vertice C e stabiliamo il valore di K uguale a 2 per ottenere un ingrandimento. Per definire la scala di ingrandimento uguale al valore di K, è necessario fissare il centro corrispondenza di un vertice della figura. In questo modo si ha proporzionalità diretta tra la costante K e il fattore di ingrandimento o riduzione in quanto si annulla la componente di spostamento sul piano data dalla posizione del centro esterno alla figura di partenza.

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Semirette

Per realizzare su carta questo esercizio, si procede quindi in questo modo: si posiziona P in un punto a piacere vicino alla figura di partenza. Si tracciano le semirette con origine in P e passanti per i vertici A B e C della figura F. Si misurano i segmenti PA PB PC. Si moltiplicano per il valore K scelto e si ottengono così le lunghezze dei segmenti PA' PB' PC'. Unendo i vertici appena trovati si ottiene la figura esattamente riprodotta ma ingrandita dalla omotetia e traslata nello spazio. Per ricavare il valore di K da una figura già trasformata si deve fare l'inverso del rapporto fra i segmenti PA e PA'.

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Trasformazioni

Variando la posizione di P nello spazio e il valore di K si possono ottenere trasformazioni diverse. Ad esempio se P è molto distante dalla figura iniziale F, si ha una minore traslazione a parità di valore K. Viceversa con valori di K maggiori si ottengono ingrandimenti maggiori a parità di posizione del punto P. Questa trasformazione è utilizzabile per ottenere ingrandimenti o riduzioni anche di figure complesse e solidi.

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GeoGebra

Nei link utili trovi GeoGebra, un software didattico gratuito dedicato alla matematica e liberamente distribuibile per usi non commerciali. Nei tutorials e sul relativo forum è possibile ottenere informazioni su come utilizzare al meglio il programma per le diverse funzioni, fra cui omotetie e similitudini.

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