Come calcolare e disegnare l'omotetia diretta di una figura geometrica

L'omotetia è la trasformazione geometrica di un oggetto sul piano, che riguarda le dimensioni lineari ma non quelle angolari. In questo modo si ottengono ingrandimenti e riduzioni in scala senza deformazioni della forma propriamente detta. L'omotetia è definita diretta se il rapporto di omotetia K è maggiore di zero. Vedremo quindi come calcolare e disegnare l'omotetia di una figura piana.

• Software didattico gratuito GeoGebra
• Carta millimetrata

Per ottenere una omotetia su una figura geometrica F, deve essere fissato un punto P detto centro, e un valore K di trasformazione. Se il valore K è maggiore di uno si ha un ingrandimento, mentre con valori compresi fra zero e uno si ha un rimpicciolimento. Con K uguale a uno si ha una identità ovvero la sovrapposizione della figura risultante all'originale di partenza. Con K uguale a zero si ottiene la sovrapposizione di tutti i vertici della figura F al punto P con annullamento delle informazioni geometriche.

Supponiamo di voler trasformare con una omotetia il quadrilatero rappresentato nella figura qui accanto. Fissiamo il centro di trasformazione in corrispondenza del vertice C e stabiliamo il valore di K uguale a 2 per ottenere un ingrandimento. Per definire la scala di ingrandimento uguale al valore di K, è necessario fissare il centro corrispondenza di un vertice della figura. In questo modo si ha proporzionalità diretta tra la costante K e il fattore di ingrandimento o riduzione in quanto si annulla la componente di spostamento sul piano data dalla posizione del centro esterno alla figura di partenza.

Per realizzare su carta questo esercizio, si procede quindi in questo modo: si posiziona P in un punto a piacere vicino alla figura di partenza. Si tracciano le semirette con origine in P e passanti per i vertici A B e C della figura F. Si misurano i segmenti PA PB PC. Si moltiplicano per il valore K scelto e si ottengono così le lunghezze dei segmenti PA' PB' PC'. Unendo i vertici appena trovati si ottiene la figura esattamente riprodotta ma ingrandita dalla omotetia e traslata nello spazio. Per ricavare il valore di K da una figura già trasformata si deve fare l'inverso del rapporto fra i segmenti PA e PA'.

Variando la posizione di P nello spazio e il valore di K si possono ottenere trasformazioni diverse. Ad esempio se P è molto distante dalla figura iniziale F, si ha una minore traslazione a parità di valore K. Viceversa con valori di K maggiori si ottengono ingrandimenti maggiori a parità di posizione del punto P. Questa trasformazione è utilizzabile per ottenere ingrandimenti o riduzioni anche di figure complesse e solidi.

Nei link utili trovi GeoGebra, un software didattico gratuito dedicato alla matematica e liberamente distribuibile per usi non commerciali. Nei tutorials e sul relativo forum è possibile ottenere informazioni su come utilizzare al meglio il programma per le diverse funzioni, fra cui omotetie e similitudini.

• http://www.frattali.it/omotetie.htm
• http://matematicamedie.blogspot.com/2012/05/omotetia-diretta-e-inversa.html
• https://it.wikipedia.org/wiki/Omotetia
• http://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/6242-omotetia.html
• http://www.treccani.it/enciclopedia/omotetia_(Enciclopedia-Italiana)/