Come approssimare un numero decimale

I numeri che tutti conosciamo sono stati raggruppati in vari insiemi, in base alle loro proprietà. L'insieme che raccoglie tutti i numeri ordinari è detto "insieme dei reali". All'interno dei reali troviamo i numeri naturali, i relativi, i razionali, gli irrazionali algebrici e i numeri irrazionali trascendenti. I numeri non interi, o decimali possono avere anche infinite cifre dopo la virgola e solo in casi molto limitati è possibile riuscire a scriverli in una forma comoda. Molto spesso però nella pratica si omettono alcune delle cifre dopo la virgola, perché non particolarmente significative. Purtroppo troncare le cifre introduce una certa quantità di errore della quale dobbiamo essere consci. Vediamo come approssimare un numero decimale.

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I numeri decimali, cioè quelli con cifre dopo la virgola appartengono a tre gruppi: razionali, irrazionali algebrici e irrazionali trascendenti. Queste tre categorie hanno proprietà molto differenti fra loro. I numeri razionali possono avere un numero limitato oppure illimitato di cifre dopo la virgola, ma si possono sempre ottenere come rapporti fra numeri interi. Una loro peculiarità sta nel fatto che dopo la virgola a partire da un punto iniziano a ripetersi uguali a se stesse e si dicono periodiche. Gli irrazionali sono più ostili, perché non presentano alcuna periodicità, ma si possono ricavare a partire da formule in forma chiusa, come per esempio le radici quadrate o altre. I numeri trascendenti, infine derivano da procedimenti di calcolo complessi e non hanno a loro volta una parte periodica, come nel famoso numero di Nepero.

Arrotondare o troncare un numero significa scrivere un certo numero di decimali, o cifre dopo la virgola e sostituire l'ultima con una di comodo. Per prima cosa valutando il numero si decide se approssimare per difetto o per eccesso e a che punto troncare. Qua l'ultima cifra assume un ruolo importante perché si hanno tre situazioni da affrontare: può essere maggiore, minore o uguale a 5. Nelle fasi di troncatura si trascurano volutamente le cifre successive a l'ultima significativa, ma si attribuisce ad esse una certa influenza che si esplicita nelle operazioni di approssimazione. Si tratta di arrotondare per difetto o per eccesso. Vediamo come.
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Approssimazione per difetto: considerate il numero decimale 23,142365439237543 e supponete di voler approssimare a meno di un centesimo: in questo caso, riscrivete il numero considerando le prime tre cifre dopo la virgola: 23,142. Fatto ciò, andate a guardare l'ultimo numero scritto, ossia 2, e se è più piccolo di cinque, scrivete il numero così com'è: 23,14.

Approssimazione per eccesso: considerate il numero decimale 23,148463901534257 e supponete anche in questo caso di voler approssimare a meno di un centesimo; riscrivete il numero considerando le prime tre cifre dopo la virgola: 23,148. Anche qui, guardate l'ultimo numero, in questo caso 8 e se è maggiore di 5, aumentate il numero precedente di 1; il numero decimale così ottenuto sarà: 23,15.

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