Come applicare le formule di prostaferesi

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nel campo della trigonometria, le quattro formule di prostaferesi svolgono un ruolo essenziale.
Il termine deriva da due vocaboli di origine greca, πρόσθεσις (somma) e ἀφαίρεσις (sottrazione).
Questo perché le formule di prostaferesi servono per semplificare una funzione trigonometrica.
Per meglio esplicare il concetto, considerate il seno ed il coseno di due angoli qualsiasi. Con le formule di prostaferesi, potete modificare in prodotto le addizioni e le sottrazioni di espressioni trigonometriche relative ai due angoli.
In questo tutorial, vi indicheremo come applicare correttamente le quattro formule di prostaferesi.
Le nozioni presentano delle difficoltà. Vi consigliamo di seguire con attenzione.

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Occorrente

  • Un buon libro di trigonometria
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Iniziate con l’applicare la prima formula di prostaferesi.
Avete i due angoli γ e δ.
Sapete che:
sen (γ + δ) = sen γ cos δ + cos γ sen δ
sen (γ - δ) = sen γ cos δ - cos γ sen δ.
Sommando in verticale le due espressioni, cos γ sen δ si annullano ed otterrete:
sen (γ + δ) + sen (γ - δ) = 2 sen γ cos δ.
Per applicare la prima delle quattro formule di prostaferesi, ipotizzate la seguente situazione.
γ + δ = s
γ - δ = t.
Dovete prima sommare e, successivamente, sottrarre verticalmente i medesimi termini.
γ = s + t / 2
δ = s – t / 2.
Avete appena ottenuto la prima formula di prostaferesi.
sen s + sen t = 2sen (s + t /2) cos (s - t /2).

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Per applicare la seconda formula di prostaferesi, dovete sottrarre i termini verticalmente, anziché addizionarli.
Considerate i soliti angoli γ e δ.
sen (γ + δ) = sen γ cos δ + cos γ sen δ
sen (γ - δ) = sen γ cos δ - cos γ sen δ.
Effettuata la sottrazione, otterrete che:
sen (γ + δ) - sen (γ - δ) = 2 cos γ sen δ.
Supponete che:
γ + δ = s
γ - δ = t
Avrete il seguente risultato:
γ = s + t / 2
δ = s – t / 2.
Potete estrapolare facilmente la seconda formula di prostaferesi
sen s - sen t = 2cos (s + t /2) sen (s - t /2).

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Se le prime due formule di prostaferesi riguardano addizione e sottrazione del seno, le ultime due interessano somma e differenza del coseno.
Applicate il medesimo procedimento dei precedenti casi, sommando verticalmente.
cos (γ + δ) = cos γ cos δ - sen γ sen δ
cos (γ - δ) = cos γ cos δ + sen γ sen δ.
Otterrete:
cos (γ + δ) + cos (γ - δ) = 2 cos γ cos δ.
Se:
γ + δ = s
γ - δ = t
allora
γ = s + t / 2
δ = s – t / 2.
Ed ecco la terza formula di prostaferesi:
cos s + cos t = 2cos (s + t /2) cos (s - t /2).

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Nella quarta formula di prostaferesi, dovete sottrarre i valori.
cos (γ + δ) = cos γ cos δ - sen γ sen δ
cos (γ - δ) = cos γ cos δ + sen γ sen δ =
cos (γ + δ) - cos (γ - δ) = - 2 sen γ sen δ.
Proseguite nel medesimo modo:
γ = s + t / 2
δ = s – t / 2.
Avete ricavato l’ultima delle quattro formule di prostaferesi.
cos s - cos t = - 2sen (s + t /2) sen (s - t /2).
Avete scoperto come applicare le formule di prostaferesi al seno e coseno di due angoli. Una volta compreso il procedimento, il calcolo diventa semplice. Vi consigliamo di esercitarvi, così da acquisire il metodo corretto.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricordate che le espressioni inverse delle formule di prostaferesi si definiscono formule di Werner. Proprio su queste si stabilisce l’algoritmo di prostaferesi.

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