Come applicare le formule di duplicazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In trigonometria, la parte della matematica che studia i triangoli e il loro sviluppo a partire dai loro angoli, le formule di duplicazione si applicano per trovare il valore di seno, il coseno e la tangente di 2 α conoscendo il valore iniziale di seno, coseno o della tangente. Valori ottenibili a partire dalla conoscenza delle formule generali di addizione delle funzioni trigonometriche, nello specifico, considerando due angoli diversi, di valore uguale: espressione riconducibile a: α = β. Questa guida nasce con l’intendo di spiegarvi come applicare le formule di duplicazione in trigonometria.

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Occorrente

  • Conoscenze matematiche e trigonometriche di base
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Partite dalla formula di duplicazione del seno: prendete la formula iniziale sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β ponete β = α. In pratica sostituite nella formula α al posto di β. La nuova formula ottenuta sarà cosi scritta: sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α. Sommate i termini simile e ottenete la formula finale sin 2α = 2 sin α cos α.
Formula di duplicazione del coseno: presa la formula iniziale cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β ponete come in precedenza spiegato β = α, sostituite i valori nella formula e ottenete la seguente espressione trigonometrica cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α. Sommate i termini simili ed elevate al quadrato i prodotti uguali. Il risultato finale è cos 2α = cos^2 α – sin^2 α.

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Provate a ricavare il sin^2 α: sin^2 α =1 – cos^2 α, sostituite nella formala trigonometrica di partenza e ottenete con 2α = cos^2 α – (1- cos^2 α) eliminate le parentesi applicando la formula matematica e invertite il segno:
con 2α = cos^2 α – 1 + cos^2 α, risolvete e ottenete la seconda formula cosi scritta
con 2α = 2cos^2 α – 1. Le dimostrazioni e le risoluzioni di queste formule sono abbastanza facili, serve tanto esercizio per affrontare diverse casistiche di calcolo e poter risolvere al meglio ogni tipo di problema trigonometrico. Cliccate qui per recuperare in rete un po di esercizi da risolvere ed esercitarvi.

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Formula di duplicazione della tangente: presa la formula iniziale tang (α + β) = tang α + tang β / 1- tang α tang β ponete come per tutte le formule di duplicazione β = α e sostituite i valori nella formula. Ottenete dunque un’ espressione di questo tipo, tang (α + α) = tang α + tang α / 1- tang α tang α, sommate i termini simili ed elevate al quadrato i prodotti uguali. Il risultato finale è un’espressione di questo tipo: tang 2 α = 2tang α / 1- tang^2 α. Dalle formule finali ottenute è possibile ricavare delle nuove formule che saranno necessarie e fondamentali per la risoluzione di alcuni problemi trigonometrici più complessi, considerate la formula: cos2 α = cos^2 α – sin^2 α, sapendo che cos2 α = cos^2 α + sin^2 α = 1 ricavate cos^2 α e ottenete la formula cos^2 α = 1- sin^2 α. Sostituite la formula di partenza e risolvete cos 2α = 1- sen^2 α – sen^2 α, riportate infine la risoluzione del coseno e ottenete la formula finale cos^2 α = 1 – 2Sen^2 α.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Il simbolo ^ nelle espressioni descritte nella guida significa "elevato a". Es. l'espressione: cos^2 β è da intendersi come "coseno al quadrato di β"
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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