Come applicare la regola del completamento del quadrato

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La regola del completamento del quadrato è un procedimento matematico che viene utilizzato per ricondurre polinomi di secondo grado al quadrato di polinomi di primo grado, in questo modo si ottengono delle equazioni più semplici da maneggiare e da risolvere, per questo motivo questa regola trova applicazione in numerosi campi scientifici.
Vediamo come applicare la regola del completamento del quadrato.

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La regola del completamento del quadrato può essere applicata sia ad equazioni con una sola incognita sia ad equazioni che contengono più incognite. Consideriamo il caso in cui abbiamo un'equazione con un'incognita, avremo un'equazione in questa forma:

ax^2 + bx + c = 0
Innanzitutto assicuriamoci che la nostra equazione non sia già un quadrato di un binomio. Procediamo, poi, isolando i termini con incognita da quelli senza.

ax^2 + bx = -c

Successivamente, mettiamo a in evidenza e dividiamo tutto per esso.

x^2 + (b/a) x = -c/a
.

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Per ottenere un quadrato al primo membro, occorrerà trovare un termine noto che, moltiplicato per 2, dia come risultato b/a. Indichiamo con k questo termine e risolviamo una piccola equazione associata:

k*2 = b/a
k = b/2a

Trovato k, eleviamolo al quadrato. Ricordiamo che aggiungendo e sottraendo uno stesso numero ad un'equazione non se ne modifica il valore, quindi possiamo aggiungere e sottrarre questo quadrato al primo membro ottenendo:
x^2 + (b/a) x + k^2 - k^2 = -c/a


Portiamo il termine negativo dall'altro lato dell'equazione:

x^2 + (b/a) x + k^2 = k^2 - c/a


.

Continua la lettura
45

Il primo membro non è altro che un quadrato di un binomio e può essere scritto come:
(x + k)^2
Abbiamo dunque ottenuto il quadrato di un polinomio al primo membro ed una costante al secondo:
(x + k)^2= k^2 - c/a

A questo punto non ci resta altro che fare la radice quadrata ad entrambi i membri per ottenere un polinomio di primo grado facilmente risolvibile.
√(x + k)^2= √(k^2 - c/a)

x + k= √(k^2 - c/a).

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Di seguito è riportato un esempio:
3x^2 + 5x -7 = 0


Abbiamo a=3, b=5, c=-7. Separiamo i termini con l'incognita da quelli senza:
3x^2 +5x = 7
Dividiamo per a:

x^2 + 5/3x = 7/3
Calcoliamo k:

k = 5/6

Eleviamo k al quadrato e aggiungiamo e sottraiamo questo quadrato al primo membro:
x^2 + 5/3x + 25/36 - 25/36 = 7/3
Portiamo - 25/36 all'altro membro:
x^2 + 5/3x + 25/36 = 7/3 + 25/36
Al primo membro abbiamo ottenuto il quadrato di un polinomio di primo grado, possiamo quindi scrivere:
(x+5/6)^2 = 109/36
Facendo la radice ad ambo i membri si ottiene:
x+5/6 = √109/6
Adesso abbiamo ottenuto un equazione di primo grado.

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