Come applicare la regola del completamento del quadrato

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Qualora si voglia diventare uno studente capace di occuparsi facilmente della matematica, è assolutamente necessario studiare fin dai concetti principali. Anche in ulteriori materie scolastiche avviene questo, però le scienze matematiche richiedono una maggiore conoscenza di partenza. La disciplina qui trattata ha numerosi argomenti di qualsiasi difficoltà riguardanti l'aritmetica, l'analisi, la geometria e l'algebra. Nei passaggi successivi verrà affrontato quest'ultimo ramo e l'argomento spiegato risulta mediamente complesso. Precisamente si illustrerà brevemente la regola del completamento del quadrato. Questa rappresenta una procedura matematica che viene adoperata per ricondurre dei polinomi di secondo grado al quadrato di polinomi di primo grado. In questa maniera verranno ottenute delle equazioni più elementari da lavorare e risolvere. Per questa motivazione, la regola appena indicata trova applicazione in molteplici campi scientifici. Nel presente tutorial di algebra vediamo come applicare la regola del completamento del quadrato. Innanzitutto va ricordato che un polinomio è la somma algebrica tra vari monomi: ad esempio, (x^2 * y) + z^2 oppure [(2 * x) / 3] + (y / 3). Adesso si potrà finalmente iniziare la spiegazione vera e propria.

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Occorrente

  • Interesse per l'algebra
  • Conoscenze basilari di matematica
  • Equazione di riferimento
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Prendere un'equazione ad una sola incognita ed eseguire le operazioni iniziali

La regola del completamento del quadrato potrà venire applicata non soltanto alle equazioni aventi una singola incognita, ma anche alle equazioni con diverse incognite. Nel presente tutorial di geometria però verrà considerato esclusivamente il caso dove l'equazione analizzata si caratterizza per un'incognita sola. La forma esatta di questo polinomio è (a * x^2) + (b * x) + c = 0. Innanzitutto bisogna assicurarsi che l'equazione presa come riferimento non risulti già un quadrato di un binomio. Successivamente occorre isolare i termini con incognita da quelli senza incognite, ottenendo così (a * x^2) + (b * x) = - c. Dopodiché andrà messo in evidenza il termine a e diviso tutto per quest'ultimo. In questo modo si avrà x^2 + [(b / a) * x] = - c / a.

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Ottenere un quadrato al primo membro

Per ottenere un quadrato al primo membro, bisogna prendere un termine noto (k) che fornisca il risultato b / a se moltiplicato per 2. Risolvendo una piccola equazione associata si hanno k * 2 = b /a e k = b / (2 *a). Adesso va ricordato che, aggiungendo o togliendo uno stesso numero ad un'equazione, non se ne altera il valore. Dopo aver trovato k, occorre elevarlo al quadrato per aggiungerlo e sottrarlo al primo membro. In questo modo si ottiene x^2 + [(b / a) * x] + k^2 - k^2 = - c / a. Il termine negativo - k^2 si dovrà ora portare dall'altro lato dell'equazione, quindi si ha x^2 + [(b / a) * x] + k^2 = k^2 - c / a.

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Fare la radice quadrata nei due membri del polinomio

Il primo membro è un quadrato di un binomio e si potrà scrivere come (x + k)^2. In questa maniera si otterrà pertanto il quadrato di un polinomio al primo membro. Al secondo membro invece si avrà la costante k^2 - c / a. Successivamente non rimane che eseguire la radice quadrata ad entrambi i membri, allo scopo di ottenere un polinomio di primo grado facilmente risolvibile. Bisogna quindi fare √(x + k)^2 = √[k^2 - (c / a)], ovvero x + k = √[k^2 - (c / a)].

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Analizzare un esempio pratico

Adesso è possibile riportato un esempio e scrivere l'equazione (3 * x^2) + (5 * x) - 7 = 0. In questo caso a = 3, b = 5 e c = - 7. Innanzitutto bisogna separare i termini con l'incognita da quelli senza incognite, ovvero si ha (3 * x^2) + (5 * x) = 7. Dividendo per il termine si ottiene x^2 + [(5 / 3) * x] = 7 / 3, mentre k = 5 / 6 e k^2 = 25 / 36. Quest'ultimo valore andrà aggiunto e sottratto al primo membro, quindi si ha x^2 + [(5 / 3) * x] + 25 / 36 - 25 / 36 = 7 / 3. Continuare portando il valore di k^2, ottenendo così x^2 + [(5 / 3) * x] + 25 / 36 = (7 / 3) + (25 / 36). Al primo membro si avrà il quadrato di un polinomio di primo grado, ovvero [x + (5 / 6)^2] = 109 / 36. Facendo la radice quadrata ad entrambi i membri, si ha [x + (5 / 6)] = √109 / 6. In questo modo, il risultato finale è un'equazione di primo grado.

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