Come applicare la formula di De Moivre ai numeri complessi

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Per numero complesso si intende un numero costituito da una parte immaginaria e da una parte reale. Può quindi essere rappresentato dalla somma di un numero reale e di un numero immaginario. Quando si lavora nel campo dei numeri complessi, le prime cose che vengono studiate sono lo studio della formula di De Moivre e di quella inversa, dato che molti esercizi implicheranno per forza l'uso di queste due formule che, capiti alcuni semplici passaggi, non ci sembreranno eccessivamente difficili da applicare. In questa guida, quindi, vedremo come fare per riuscire ad applicare correttamente la formula di De Moivre ai numeri complessi.

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Numero complesso

Come ben sappiamo un numero complesso che chiamiamo z è esprimibile cosi: z= a ib dove 'a' è la parte che reale del numero, mentre 'b' è la parte immaginaria. Ricordiamo che dal numero complesso possiamo calcolarci il modulo che chiamiamo ro (p= radice di: parte reale al quadrato più parte immaginaria al quadrato) e l'angolo, che chiamiamo teta. Per calcolarlo dobbiamo andare a studiare il coseno ed il seno di teta (cos o = parte reale \ ro, sen o = parte immaginaria \ ro), l'angolo che verrà intercettato dal seno e dal coseno sarà proprio il nostro angolo.

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Nuovo numero complesso

Con questi semplici calcoli ora saremo in grado di scrivere il nostro numero complesso in due forme: in forma ALGEBRICA ossia p (cos o i sen o) ed in forma trigonometrica [ ro, teta ]. Potremmo applicare le formule di De Moivre su entrambe le forme dal momento che esse esprimono la stessa identica cosa, ma ci risulterà concettualmente più semplice applicarla sulla forma trigonometrica.

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Formula di De Moivre

La formula di De Moivre la utilizziamo quando abbiamo un esercizio che ci chiede esplicitamente di calcolare l'elevazione di un numero (esempio: calcolare il seguente numero complesso z elevato alla centocinquantesima). Dopo aver scritto il numero complesso in forma trigonometrica, ci basterà semplicemente applicare questa formula: ([ro, teta]) elevato a K = [ro elevato a K, teta x K ].

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Formula inversa di De Moivre

La formula inversa di De Moivre, che è solo una variante della formula precedente, la utilizziamo quando dobbiamo calcolare la radice n-esima di un numero complesso. In questo caso la formula che utilizzeremo sarà: W-k = [ radice n-esima di ro, (teta 2pigreco x K)] fratto n]. Notiamo che K=0,1,... N-1, perciò se dobbiamo ricavarci la radice cubica di un numero complesso, applicheremo tre volte la formula inversa di De Moivre: Essendo K=0,1,2 la applicheremo per W-1, W-2, W-3. Vi auguro quindi buon lavoro.

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