Come applicare il teorema di Rolle

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Nel calcolo matematico, il teorema di Rolle afferma che ogni funzione differenziabile con valori reali, raggiunge valori pari a due punti distinti; la pendenza della retta tangente al grafico della funzione è zero. La versione standard del teorema, si basa su una funzione con valori reali "f" ed è continua su un intervallo chiuso (a, b), derivabile nell'intervallo aperto (a, b), tale che f' (c) = 0. In questa guida, in particolare, vedremo come fare per riuscire ad applicare correttamente il teorema di Rolle.

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Il matematico indiano Bhaskara eseguì la dimostrazione formale del teorema da Michel Rolle nel 1691, utilizzando il metodo di calcolo differenziale. Il teorema è valido anche quando la funzione non può essere differenziata all'estremità, in quanto richiede solo una funzione derivabile nell'intervallo aperto. L'idea della dimostrazione consiste nel sostenere che se f (a) = f (b), deve raggiungere un punto massimo o minimo tra A e B (a C), la funzione deve cambiare da crescente a decrescente (o viceversa) in c. In particolare, se il derivato esiste, deve essere zero in c. Ad esempio: se f è continua su a e b, entrambi saranno raggiunti all'estremità, f sarà la costante e la derivata sarà zero in ogni punto di a e b.

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Possiamo anche generalizzare il teorema di Rolle nel caso in cui f abbia più punti con valori uguali e una maggiore regolarità. In particolare, supponiamo che la funzione f è n - 1 (volte differenziabile sull'intervallo chiuso), la derivata ennesima è nell'intervallo aperto "a, b" ed è presente un numero c in "a, b", tale che la derivata n-esima di f c sia nulla. I requisiti relativi alla derivata n-esima di f possono essere indeboliti come nella generalizzazione per i limiti di destra e di sinistra. La dimostrazione utilizza l'induzione matematica; n = 1 è semplicemente la versione standard del teorema di Rolle. L'ipotesi di induzione, assume la generalizzazione per n - 1.

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La nostra guida a questo punto è finalmente giunta al termine. Tutto quello che dovremo fare per riuscire a capire come fare per riuscire ad applicare correttamente il teorema di Rolle, sarà leggere molto attentamente tutte le indicazioni riportate nei passi precedenti. La matematica è una fra le materie più complicate da studiare, per cui ogni qual volta troviamo difficoltà nell'apprendere alcuni particolari argomenti, dovremo semplicemente ricercare su internet fra le moltissime guide esistenti quella che ci interessa, che ci spiegheranno in maniera molto semplice tutti i vari passaggi.

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