Come applicare il teorema di Eulero

Tramite: O2O 09/07/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Che la matematica non sia la materia più immediata da apprendere è assodato, e spesso la difficoltà sta nel mettere insieme molte informazioni che appaiono disgiunte fra loro. Anche una branca semplice dell'algebra, come l'aritmetica nasconde molte insidie. I numeri sono, nella loro apparente semplicità, governati da relazioni molto oscure, persino per i matematici stessi che nei secoli me hanno affrontato i misteri cercando di dare un ordine all'infinità che avevano davanti, e di cercare una sorta di ritmo che li governa. Fra questi troviamo lo svizzero Eulero, a cui dobbiamo lo studio della branca dell'insiemistica, i grafi e l'apparentemente incomprensibile omonimo teorema, che però in realtà porta a risultati che semplificano enormemente i calcoli. Vediamo come applicare il teorema di Eulero e quali sono le sue implicazioni, omettendo la sua tediosa dimostrazione.

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Enunciato del teorema

I reali sono il più ampio contenitore di numeri, prima e i complessi. Nei secoli lo studio si è molto concentrato sul gruppo apparentemente più innocuo, quello degli interi, che già aveva affascinato i pitagorici in epoca antica. I numeri interi hanno diverse proprietà, e stanno fra loro in relazioni particolari, spesso molto difficili da scoprire, specie se si tratta di valori molto grandi o dispersi, cioè lontani fra loro. Il teorema di Eulero afferma che se N è un numero positivo intero ed A è coprimo di N, allora:
A^p(N)=1 mod N

Dove p(N) rappresenta la funzione di Eulero e la parte a destra dell'uguaglianza è relazione di congruenza modulo. La formula riportata può essere interpretata come una generalizzazione del così detto "piccolo teorema di Fermat", ed è ulteriormente generalizzato dal teorema di Carmichael che pone in relazione un numero di Fibonacci coi divisori a d esso precedenti. Questa funzione deve essere interpretata come il numero degli interi compresi tra 1 ed n che sono comprimi con n. I punti che seguono non si propongono di dimostrare dal punto di vista teorico la validità di questo teorema, ma solo di applicarlo, quindi verranno mostrati alcuni dei suoi possibili impieghi.

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Applicazione del teorema

Una principale applicazione del teorema di Eulero è la riduzione delle potenze di ordine elevato di un numero intero. Si deve infatti notare che un numero intero qualsiasi può essere espresso con una terna di valori, in cui si ha in pratica una base, elevata ad un esponente ed un resto. In questa maniera:

y=(a^b)+c

Anche se questa relazione sembra complicare tutto, in realtà permette di capire che numero sia y e come muoversi per esprimerlo in un eventuale prodotto di fattori, più un resto. Apparentemente una potenza elevata è molto difficile da manipolare. Per esempio se si prende 7^222 e vogliamo conoscere la sua ultima cifra si possono fare le considerazioni che seguono. 7 e 10 sono coprimi, detti anche primi fra loro e quindi privi di divisori comuni. Quindi p(10)=4 ossia si può considerare 7^4=1 mod 10. Siccome 7^222=7^(4*55+2)=[(7^4)^55]*(7^2) si avrà (1^55)*7^2=49= 9 mod 10 . In definitiva si ottiene che
a^x=(a^y)mod n dove y=x mod p(n). Questo risultato apre alla riduzione degli algoritmi di calcolo.

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Piccolo teorema di Fermat

Per concludere la trattazione del teorema di Eulero, si deve comunque trattare anche il piccolo teorema di Fermat come già accennato. Il suo enunciato piuttosto semplice, perché afferma che dato un numero primo "p", ed un intero "a" vale la relazione

a^p=a(mod)p

che va significa che prendendo un qualsiasi numero naturale "a", e moltiplicandolo per se stesso "p" volte, con "p" numero primo, e si sottrae "a" il risultato è divisibile per p, che a volte si trova espresso in una forma equivalente. Se p è primo e a intero coprimo con p allora:

a^(p-1)=1(mod)p

Il piccolo teorema di Fermat si estende infine col concetto di pseudoprimarietà. Infatti se "a" e "p" sono coprimi ( ossia non hanno divisori in comune, pur non essendo necessariamente primi) si ha che a^(p-1)-1 è divisibile per "p" pur non essendo questo obbligatoriamente primo. Tali numeri sono detti di Carmichael.

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Conclusioni

Il teorema di Eulero si usa quindi per ridurre i numeri coprimi a forme più semplici da gestire. In realtà il teorema trova la sua principale applicazione come parte del calcolo dei numeri primi e della classificazione dei numeri grandi, per i quali è impossibile un calcolo diretto dei divisori con un metodo classico. Tentare infatti un calcolo brutale in cerca dei divisori può mettere a dura prova qualsiasi calcolatore occupandolo anche per diversi mesi continuativamente. L'applicazione usa il teorema di Eulero-Fermat solo come base per teoremi più avanzati dal punto di vista dell'economia di calcolo. Merita uno studio a parte il toziente o funzione di Eulero su cui si basa il teorema. Lo studio di questa funzione ha permesso la ricerca dei grandi numeri primi e soprattutto lo studio della loro dispersione nel campo dei reali. La funzione rappresenta la cardinalità del così detto gruppo moltiplicativo degli interi di modulo n e che di conseguenza consente di escludere dalla stima intere costellazioni di numeri che appesantirebbero la computazione e di conseguenza la resa dei calcoli.

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