Come applicare il teorema di Clapeyron

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema di clapeyron afferma che: "il lavoro di deformazione di un corpo elastico lineare sollecitato da forze agenti staticamente è pari alla metà del lavoro che tali forze compirebbero per gli spostamenti effettivi se conservassero costantemente la loro intensità finale". Questo teorema è valido sotto l'ipotesi di elasticità lineare e di piccoli spostamenti. In questa guida cercheremo di capire, nell'immediato, come applicare le affermazioni sopra riportate.

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Nozioni generali

In pratica, per un sistema piano, con forze Fi (i=1,2,3..), il lavoro esterno possiamo scriverlo come:
L= (1/2) Fi*ni
Dove "ni" rappresenta la componente dello spostamento del punto di applicazione di Fi nella direzione della forza.
Tale lavoro eguaglierà l'energia di deformazione: (1/2)*iNTEGRALE DI aij*eij
Dove ho indicato con "a" le tensioni e con "e" le deformazioni. Bisogna tenere bene a mente questo passaggio, in quanto risulterà indispensabile al fine dell'apprendimento totale dell'intero processo.

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Procedimento

Ora, avendo una struttura da studiare, nel caso che questa sia iperstatica, la prima cosa da fare è renderla isostatica e trovare i vari schemi. Mentre se la struttura di partenza è già isostatica, si può già direttamente studiarla ed arrivare a trovare i vari valori del momento resistente, del taglio e dello sforzo normale, per ogni tratto della struttura. Una volta fatto ciò, si deve procedere con l'applicazione del teorema, impostando, attraverso il teorema degli spostamenti virtuali, l'uguaglianza tra il lavoro interno e quello esterno. Questo però dovrà essere scritto con la condizione del teorema di Clapeyron, è cioè dimezzando il valore del lavoro di deformazione.

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Equazione del teorema

A questo punto siamo pronti per scrivere l'equazione del teorema:
L=(1/2)int. ((N^2)/EA, ds)+(1/2) int. (xt^2)/GA, ds)+(1/2) int. (M^2)/EI, ds)
Gli integrali sono del tipo di linea, e cioè sono estesi alla lunghezza della linea media della struttura.
Una volta scritta l'equazione, si deve inserire all'interno della stessa i vari valori trovati per il momento, il taglio e lo sforzo normale. Alla fine, cioè una volta terminati i calcoli degli integrali, il risultato lo si pone uguale al lavoro esterno. In questo modo si potrà trovare il valore degli spostamenti.
Nell'espressione EI rappresenta la rigidezza flessionale della struttura, EA è la rigidezza assiale o estensionale della struttura mentre x è il fattore di taglio e G rappresenta il modulo di elasticità tangenziale, A= area.

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