Come applicare il Teorema di Cauchy ad una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Se stiamo per affrontare l'esame di maturità, bisognerà conoscere gli argomenti più importanti che sicuramente saranno trattati. Una delle materie che ci preoccuperà di più sarà la matematica, soprattutto se frequentiamo il liceo scientifico. Generalmente uno degli argomenti molto frequenti nel questionario dell'esame di stato di matematica, è il teorema di Cauchy. Nella seconda prova di maturità, spesso almeno un esercizio pretende l'applicazione di questo particolare teorema su una funzione f (x). Continuiamo nella lettura di questa interessante guida che saprà fornirci delle utili informazioni su come applicare il Teorema di Cauchy ad una funzione, ed ottenere così la corretta risoluzione di un esercizio matematico.

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Occorrente

  • conoscenze di analisi matematica 1
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Tuttavia, uno degli esercizi che possiamo trovare in qualsiasi test di matematica, soprattutto all'esame di maturità, dopo che ci verrà assegnato una funzione f (x) e una g (x), e un intervallo (a; b), sarà un esercizio che ci chiederà di verificare se tali funzioni soddisfano pienamente il teorema di Cauchy. In poche parole, dovremmo stabilire se tutte le condizioni che tale teorema pone, siano tutte verificate. Quindi la risoluzione di un esercizio consisterà sostanzialmente sulla verifica di tali condizioni in relazione alla funzione f (x) e alla g (x) proposte dall'esercizio in questione.

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Adesso cerchiamo di capire e spiegare nella maniera più semplice il teorema di Cauchy: il teorema di Cauchy, afferma che, se tali funzioni y = f (x) e y = g (x) sono derivabili (con g'(x) diverso da zero) nell'intervallo aperto ] a; b [ e, almeno continue nell'intervallo chiuso [ a; b ], allora esisterà per forza almeno un punto c, appartenente ad (a; b) in cui valga la seguente relazione: [ f (b) - f (a) ] / [ g (b) - g (a) ] = f'(c) / g'(c). Se le ipotesi sono tutte verificate, allora tramite la formula in grassetto potremmo ricavare il punto o i punti che il teorema ci chiede di trovare.

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Questo teorema, anche detto teorema degli incrementi finiti, sostanzialmente afferma che nel caso in cui due funzioni soddisfano, in un certo intervallo (a; b), le ipotesi del teorema, si determina che, il rapporto tra gli incrementi delle funzioni è uguale al rapporto tra le rispettive derivate, calcolate in un opportuno punto c interno all'intervallo definito. Questo sarà il concetto e, le linee guida che bisognerà seguire in un eventuale esercizio che ci prospetterà di intervenire con l'applicazione di tale teorema. Anche per risolvere meglio ogni problema, riguardo a tali tipi di funzioni, sarà consigliabile fare particolarmente attenzione ai concetti di derivata e rapporto incrementale.

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