Come applicare il secondo teorema di De l'Hopital

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Nel caso in cui si voglia effettuare il calcolo di un limite, la giusta procedura da compiere consiste nell'applicare il secondo teorema di De l'Hopital. Questa regola, può anche essere applicata per il calcolo di funzioni appartenenti ad altre forme indeterminate. Vediamo allora qui di seguito alcuni consigli su come utilizzare questa procedura.

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Occorrente

  • conoscenze base di analisi
  • conoscenza calcolo dei limiti
  • conoscenza regole di derivazione
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Come prima cosa, questo teorema ha preso il nome dal marchese Guillaume de l'Hopital, un matematico di nazionalità francese. La prima apparizione del teorema fu nel lontano 1696, quando il matematico la scrisse per la prima volta sul suo libro. Dopo ricerche approfondite, però, si scoprì che il merito di tale scoperta non era esattamente del marchese, ma bensì del suo stesso insegnante. Supponiamo di avere un limite che dia come risultato la forma indeterminata zero su zero: per poter applicare il teorema di Guillaume de l'Hopital, la prima cosa da dover verificare è che le due funzioni, quella al numeratore e quella al denominatore, siano continue. Possono risultare non continue nel punto a cui tendono.

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Un altro passaggio da effettuare, è quello di controllare se le funzioni sono derivabili in un intorno del punto a cui tendono, tranne eventualmente nel punto stesso. Il teorema di de l'Hopital afferma che se esiste ed è finito il limite del rapporto delle due derivate, tale limite sarà uguale al limite della funzione di partenza. Altra prerogativa di questo teorema, è quella di valutare alcune forme indeterminate che coinvolgano potenze. Per questo procedimento, è necessario utilizzare i logaritmi. Per facilitare la comprensione del teorema, provvediamo a fare un esempio. Supponiamo di avere il limite che tende a zero di sinx/x. Per risolvere tale situazione, non vogliamo farlo come limite notevole ma, viceversa utilizzando il teorema di de l'Hopital.

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Verificate allora che sia al numeratore sia al denominatore, vi siano funzioni continue e derivabili in un intervallo di zero. La derivata del seno è coseno, mentre la derivata di x è 1. Oltre a ciò, dovremo calcolare il limite che tende a zero del rapporto cosx/1 ed ottenere 1; il limite di partenza tenderà anch'esso ad 1. In conclusione, potremo affermare che: "ogni forma di indeterminazione del tipo zero su zero, oppure infinito su infinito, sono riconducibili le une alle altre, di conseguenza ciò che bisogna fare, in questo caso, è dimostrarne una delle due per ottenere in maniera del tutto automatica anche l'altra".

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