Come Applicare Il Metodo Di Eliminazione Di Gauss A Una Matrice Nxn

Tramite: O2O
Difficoltà: media
18

Introduzione

Oggi vedremo come applicare il metodo di eliminazione di Gauss su una matrice nxn. Utilizzare tale algoritmo su una qualsiasi matrice permette di ricavare preziose informazioni circa il rango della stessa, la struttura delle soluzioni del sistema lineare associato o la dipendenza lineare delle righe.

28

Occorrente

  • 4 operazioni
38

Il nostro obiettivo è portare la matrice in "forma diagonale". Le operazioni che possiamo fare sono: sommare tra loro le righe, moltiplicare le righe per un numero diverso da 0, sommare tra loro multipli di righe. Per prima cosa consideriamo l'elemento in alto a sinistra della matrice, che denoteremo con M (1,1) (il primo 1 è l'indice della riga, il secondo quello della colonna).

48

Verifichiamo che l'elemento in posizione (1,1) sia diverso da 0. Nel caso in cui sia uguale a 0, bisogna scambiare la prima riga con la k-esima, a patto che M (k,1) sia diverso da 0. Se tutte le righe hanno come primo valore (cioè nella prima colonna) 0, possiamo eliminare la prima riga e la prima colonna. Fai attenzione: se sulla prima colonna ci sono solo zero, possiamo eliminarle entrambe e passare alla seconda colonna. Una volta terminato l'algoritmo di Gauss anche la prima riga sarebbe composta solo da 0.

Continua la lettura
58

Eseguiamo un'operazione standard per tutte le righe successive. Sottraiamo alla riga k-esima la prima riga moltiplicata per l'elemento M (k,1), per ottenere, una volta effettuate le sottrazioni, M (k,1) = 0. Stiamo sottraendo alla k-esima riga un elemento multiplo della prima, non stiamo moltiplicando la prima riga per M (k,1) (o, se è più facile da comprendere, è come se prima moltiplicassimo per M (k,1), eseguissimo la sottrazione e poi moltiplicassimo per (1/M (k,1) che avevamo preso in precedenza)

68

Ora la nostra matrice avrà la prima colonna che è (1 0 0 0... 0). Ripetiamo il procedimento dei passi precedenti con la seconda colonna. Consideriamo M (2,2). Se questo elemento è uguale a 0 scambiamo la seconda riga con un'altra in cui questo elemento è diverso da zero. Se in tutte fosse pari a 0 cancelliamo la seconda riga e la seconda colonna e consideriamo la matrice quadrata (N-1) x (N-1) che otteniamo. Nel caso in cui invece riuscissimo a trovare un elemento in questa posizione diverso da zero, dobbiamo dividere la seconda riga per M (2,2) e quindi sottrarre a tutte le righe dalla 3° all'n-esima la seconda riga moltiplicata per M (k,2)..

78

Nell'ultimo passaggio dell'algoritmo otterremo una matrice triangolare superiore, con tutti 1 sulla diagonale e 0 sotto la diagonale. Se abbiamo cancellato qualche riga e qualche colonna, dobbiamo ricordarlo. Solo così potremo ricavare informazioni sul rango. Infatti il rango di una matrice (cioè il massimo numero di vettori riga linearmente indipendenti) è uguale a N-(numero delle colonne cancellate). Termina così l'algoritmo di Gauss. Le applicazioni di questo algoritmo sono svariate. Una delle più famose è nel corso di Geometria e Combinatoria per il calcolo del rango di una matrice.

88

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Spesso è sufficiente fermarsi alla forma triangolare superiore se non è necessario calcolare esplicitamente le soluzioni
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Gauss-Markov: dimostrazione

La matematica è sempre stata la materia più complicata e quindi meno apprezzata sia dai bambini delle scuole elementari, sia dagli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono...
Università e Master

Come applicare il metodo di Ritter

Quando si rivela necessario effettuare il calcolo di una travatura reticolare isostatica, possiamo ricorrere al metodo relativo alle sezioni di Ritter. Si tratta sostanzialmente di un teorema analitico che ci consente di determinare l'entità dello sforzo...
Università e Master

Come calcolare le coordinate Gauss-Boaga in una cartina geografica IGM

Orientarsi e capire la conformazione della Terra è stato sempre uno dei grandi problemi dell'uomo. Grazie alla creazione delle carte geografiche e delle mappe territoriali si è riusciti in qualche modo ad ovviare a questo problema. Ma esistono diversi...
Università e Master

Come applicare il metodo per la verifica di aste soggette a carico di punta

In ingegneria l'instabilità dovuta ad un carico assiale di punta agente su un'asta è un improvviso collasso di un membro strutturale soggetto ad intensi sforzi di compressione,. Questo tipo di collasso è anche chiamato collasso dovuto ad instabilità...
Università e Master

Come diagonalizzare una matrice

A chiunque di noi abbia compiuto degli studi superiori o universitari nel campo della matematica o delle scienze applicate alla matematica (ad esempio studi ingegneristici o relativi all'architettura) sarà senz'altro capitato di imbattersi nello studio...
Università e Master

Il Teorema di Rouché-Capelli

In Algebra lineare, il Teorema di Rouché-Capelli enuncia che un sistema lineare di m equazioni a n incognite ha soluzione, se e solo se, il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa del sistema (Definizione Geometria Lineare)....
Università e Master

Come Studiare Con Il Metodo delle Domande

Riuscire a studiare una particolare materia, per molte persone, può risultare abbastanza complicato, questo è generalmente legato alla mancanza di un metodo di studio adeguato. Purtroppo nelle scuole raramente insegnano come fare per riuscire a memorizzare...
Università e Master

Come disegnare un pezzo in proiezione con il metodo americano

In ambito di disegno industriale esistono due diversi metodi di rappresentazione delle proiezioni ortogonali che sono quello del primo diedro, o metodo europeo, e quello del terzo diedro, o metodo americano. Quindi è molto importante sincerarsi sempre...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.