Come Applicare Il Metodo Di Eliminazione Di Gauss A Una Matrice Nxn

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Oggi vedremo come applicare il metodo di eliminazione di Gauss su una matrice nxn. Utilizzare tale algoritmo su una qualsiasi matrice permette di ricavare preziose informazioni circa il rango della stessa, la struttura delle soluzioni del sistema lineare associato o la dipendenza lineare delle righe.

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Occorrente

  • 4 operazioni
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Il nostro obiettivo è portare la matrice in "forma diagonale". Le operazioni che possiamo fare sono: sommare tra loro le righe, moltiplicare le righe per un numero diverso da 0, sommare tra loro multipli di righe. Per prima cosa consideriamo l'elemento in alto a sinistra della matrice, che denoteremo con M (1,1) (il primo 1 è l'indice della riga, il secondo quello della colonna).

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Verifichiamo che l'elemento in posizione (1,1) sia diverso da 0. Nel caso in cui sia uguale a 0, bisogna scambiare la prima riga con la k-esima, a patto che M (k,1) sia diverso da 0. Se tutte le righe hanno come primo valore (cioè nella prima colonna) 0, possiamo eliminare la prima riga e la prima colonna. Fai attenzione: se sulla prima colonna ci sono solo zero, possiamo eliminarle entrambe e passare alla seconda colonna. Una volta terminato l'algoritmo di Gauss anche la prima riga sarebbe composta solo da 0.

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Eseguiamo un'operazione standard per tutte le righe successive. Sottraiamo alla riga k-esima la prima riga moltiplicata per l'elemento M (k,1), per ottenere, una volta effettuate le sottrazioni, M (k,1) = 0. Stiamo sottraendo alla k-esima riga un elemento multiplo della prima, non stiamo moltiplicando la prima riga per M (k,1) (o, se è più facile da comprendere, è come se prima moltiplicassimo per M (k,1), eseguissimo la sottrazione e poi moltiplicassimo per (1/M (k,1) che avevamo preso in precedenza)

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Ora la nostra matrice avrà la prima colonna che è (1 0 0 0... 0). Ripetiamo il procedimento dei passi precedenti con la seconda colonna. Consideriamo M (2,2). Se questo elemento è uguale a 0 scambiamo la seconda riga con un'altra in cui questo elemento è diverso da zero. Se in tutte fosse pari a 0 cancelliamo la seconda riga e la seconda colonna e consideriamo la matrice quadrata (N-1) x (N-1) che otteniamo. Nel caso in cui invece riuscissimo a trovare un elemento in questa posizione diverso da zero, dobbiamo dividere la seconda riga per M (2,2) e quindi sottrarre a tutte le righe dalla 3° all'n-esima la seconda riga moltiplicata per M (k,2)..

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Nell'ultimo passaggio dell'algoritmo otterremo una matrice triangolare superiore, con tutti 1 sulla diagonale e 0 sotto la diagonale. Se abbiamo cancellato qualche riga e qualche colonna, dobbiamo ricordarlo. Solo così potremo ricavare informazioni sul rango. Infatti il rango di una matrice (cioè il massimo numero di vettori riga linearmente indipendenti) è uguale a N-(numero delle colonne cancellate). Termina così l'algoritmo di Gauss. Le applicazioni di questo algoritmo sono svariate. Una delle più famose è nel corso di Geometria e Combinatoria per il calcolo del rango di una matrice.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Spesso è sufficiente fermarsi alla forma triangolare superiore se non è necessario calcolare esplicitamente le soluzioni

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