Come Applicare Graham-schmidt A Una Matrice Nxn

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tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il metodo di ortogonalizzazione di Graham-Schmidt vuole mettere a disposizione il giusto sistema per costruire un insieme di vettori ortogonali pur iniziando da una famiglia di vettori indipendenti e lineari. In poche parole, è fondamentalmente il modo per ottenere una base ortogonale partendo da una base qualunque. Il procedimento specifico viene detto Graham-Schmidt perché associato a due illustri nomi o meglio a due matematici eccezionali: Jorgen Pedersen Gram matematico danese e Reinhard Schmidt sempre matematico, ma tedesco. Questa applicazione dell'algebra lineare o algoritmo venne studiata anche precedentemente e la si può trovare nelle scoperte di Laplace e Cauchy. Vediamo insieme le nozioni principali e come applicare Graham- Schmidt a una matrice NXN.

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Occorrente

  • Studio e applicazione
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Nel caso di ortogonalizzazione applicata su di un computer, al posto del processo di Gram-Schmidt è preferibile adottare la trasformazione di Householder perché quest'ultima si rivela maggiormente stabile e gli errori derivanti da arrotondamenti sono di minore entità. L'ortogonalizzazione di Graham-Schmidt crea dei vettori ortogonali da dei vettori indipendenti utilizzando uno spazio vettoriale, meglio detto struttura algebrica con prodotto scalare. Quindi la proiezione ortogonale proietta il vettore v su u. Con questo procedimento si costruisce una base ortogonale da una base qualsiasi. Normalizzando poi la base ortogonale dividendo ogni vettore per la norma, si ottiene una base dello spazio ortonormale.

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Per calcolare il determinante delle matrici quadrate nxn si può operare per righe o per colonne, quindi con la matrice quadrata n secondo lo sviluppo di Laplace si calcola il determinante utilizzando lo sviluppo per colonna e applicando la formula. Mentre con il metodo Graham-Schimidt, cambiando la base si isola un vettore per ottenere tutti vettori ortogonali. Se M è uguale a zero si può scambiare il vettore per ottenere un prodotto scalare. Poi si calcola il prodotto tra e1 e e2 sostituendo u2. Il risultato sarà zero. Il prodotto scalare invece tra e1 ed e3, dove u3 avrà la propria espressione, produce sempre zero.

Continua la lettura
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Mentre una matrice diagonale è la matrice iniziale che utilizza vettori ortogonali. Per trasformare questi ultimi in ortonormali bisogna dividere ogni vettore per la norma. Si effettua un cambio di base ossia un cambio della matrice diagonale N uguale alla sua trasposta che ha in corrispondenza N uguale a 1 radice di M.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Tenere sempre in considerazione che il determinante è solo per matrici quadrate e una base ortonormale può essere anche ortogonale mentre quella ortogonale non può essere ortonormale
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