Come Analizzare Un Punto Di Discontinuità

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

La discontinuità è un concetto solamente puntuale: imparando a riconoscere se una funzione è discontinua, in un qualche punto dell'asse reale, sarete anche in grado di dire se la funzione è continua globalmente (nel caso in cui non vi sia alcuna discontinuità). Questo perché, da che mondo è mondo, è più facile controllare un numero finito di punti (vale a dire le eventuali discontinuità di una funzione) piuttosto che controllare ad uno ad uno i punti in cui una funzione e continua. Durante l'analisi di una funzione, è sempre difficile riuscire a capire come comportarsi con i punti di discontinuità, cioè i punti in cui la funzione non è continua. In questa guida, in pochi e semplici passaggi, vi insegnerò ad analizzare un punto di discontinuità di una funzione, e a distinguere i vari tipi di discontinuità. Vediamo quindi come procedere.

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Occorrente

  • Nozioni di Analisi 1
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Quando saprete riconoscere le discontinuità, prenderete una funzione qualsiasi, la guarderete, e ragionerete più o meno così: la funzione non ha discontinuità, quindi è continua globalmente, oppure la funzione ha discontinuità, che sono di certi tipi per determinati motivi, e quindi non è continua globalmente. Per prima cosa, data una funzione a tratti, per capire se esistono punti di discontinuità, dovete analizzare la funzione in un punto critico, cioè in un punto in cui la funzione potrebbe avere uno sbalzo, scoprendo se la funzione in ambo i versi tende allo stesso valore. Nelle funzioni a tratti i punti critici sono i punti tra un tratto e l'altro. Per vedere se il punto critico è di discontinuità, dovrete fare il limite della funzione, facendola tendere una volta al punto critico da destra e una volta da sinistra.

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Se i limiti tenderanno allo stesso valore, allora avrete due possibilità: se il punto critico appartiene alla funzione allora la funzione sarà continua in quel punto, mentre se il punto non appartiene avrete invece una discontinuità di terzo tipo, cioè eliminabile. Infatti, basterebbe soltanto immettere tra i due tratti una funzione che sia il valore delle altre in quel punto per rendere la funzione continua.

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Se invece i limiti della funzione nel punto critico sono diversi, allora avrete un punto di discontinuità di primo tipo. Per eliminare questo tipo di punto di discontinuità, dovreste necessariamente traslare una delle due funzioni della differenza tra i risultati dei limiti. Avrete invece un punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti nel punto critico tende ad infinito, oppure non esiste. In tal caso, è impossibile rendere la funzione continua.

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