Calcolo letterale tra polinomi

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il polinomio viene definito come un'espressione algebrica rappresentata dalla somma di uno o di più monomi denominati termini. In base al numero di questi ultimi, il polimonio cambia nome: se sono due sarà un binomio, se non tre trinomio e via dicendo.
Il grado di un polinomio può essere complessivo quando si prende in considerazione il monomio con il valore di grado più alto, o indicativo rispetto ad una singola lettera quando si fa riferimento al grado massimo della lettera presa in considerazione. Si dice omogeneo quando i termini hanno un medesimo grado. Per ridurre un polinomio si devono sommare tutti i monomi simili in modo da eliminare quelli inutili e definire, se c'è, il termine noto.
In questa guida proponiamo alcuni esempi pratici di calcolo letterale tra polinomi, in modo da comprenderli meglio. Vediamoli nel dettaglio.

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Occorrente

  • Concentrazione
  • regole
  • conoscenza dell'argomento
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L’addizione tra polinomi corrisponde alla somma tra i vari polinomi presenti.
Consiste principalmente nell’eliminare le parentesi e riportare tutto allo stesso livello.
Es. (7b+8a+9c+10d) + (c+4b+7a+8d) + (11a+9b+6c+d) = 7b+8a+9c+10d+c+4b+7a+8d+11a+9b+6c+d
Essendoci più monomi simili, questo polinomio non sarà ridotto, per questo dobbiamo sommare tutti i termini simili. La soluzione sarà, quindi, 20b+26a+16c+19d.

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La sottrazione tra polinomi corrisponde alla differenza tra il primo polinomio, il secondo, il terzo, ecc. Ecc..
Lo svolgimento consiste principalmente nell’eliminare le parentesi, però, a differenza dall’addizione, essendoci il segno meno prima delle parentesi, i termini da positivi diventeranno negativi e viceversa.
Es. (7b+8a+9c+10d) - (c+4b+7a+8d) - (-11a-9b-6c-d) = 7b+8a+9c+10d-c-4b-7a-8d+11a+9b+6c+d
Anche in questo caso, dobbiamo ridurre il polinomio in termini semplici, il risultato finale corrisponde a 12b+12a+14c+3d.

Continua la lettura
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Per quanto riguarda la moltiplicazione, invece, vediamo due esempi differenti: uno è tra un monomio ed un polinomio e l'altro tra due polinomi.
Nel primo caso abbiamo A*(2b+3c+8d) quindi (a*2b)+(a*3c)+(a*8d) = 2ab+3ac+8ad
Nel secondo dobbiamo moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.
(2a+3b+4c)*(4a+6b+8c) quindi (2a*4a)+(2a*6b)+(2a*8c)+(3b*4a)+(3b*6b)+(3b*8c)+(4c*4a)+(4c*6b)+(4c*8c) = 8a^2+12ab+16ac+12ab+18b^2+24bc+16ac+24bc+32c^2
Chiudiamo riducendo in termini semplici il polinomio sommando i termini simili: 8a^2+24ab+32ac+18b^2+48bc+32c^2.

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Per ciò che concerne la divisione, il discorso è più complesso rispetto alle precedenti operazioni: parleremo di divisione tra un polinomio ed un monomio, divisione tra polinomi e di divisione tra polinomi mediante la regola di Ruffini.
Prima di effettuare la divisione tra un polinomio ed un monomio, dobbiamo accertarci che il monomio non sia nullo ed allo stesso tempo che ogni termine del polinomio sia divisibile per il monomio. Solo allora possiamo procedere con la divisione.
Es. (2ab+3b+4bc): b = (2ab/b)+(3b/b)+(4bc/b) quindi avremo 2a+3+4c.

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Per quanto riguarda la divisione tra due polinomi, invece, dobbiamo prima assicurarci che i polinomi siano ordinati dal grado di elevazione maggiore a quello minore. Dopodiché, andiamo ad indicare con A il polinomio dividendo, con B il polinomio divisore, con Q il polinomio quoziente della divisione A/B e con R il polinomio resto della divisione. In più, se il polinomio non risulta completo, ovvero manca un grado, è necessario inserire lo 0 al grado mancante.
Si procede come segue: dividiamo il primo termine del polinomio A per il primo termine del polinomio B. Così facendo otteniamo il primo termine del polinomio Q. Moltiplichiamo tutti i termini del polinomio B per il primo termine Q e sottraiamoli al polinomio A, ottenendo così il resto parziale. Sostituiamo il resto parziale con A e ricominciamo la procedura, dividendo il resto parziale per il primo termine del polinomio B. Ottenendo il primo termine del polinomio Q. Continuaimo fin quando il resto non sarà di grado inferiore al polinomio B, ovvero il polinomio divisore.

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La divisione mediante regola di Ruffini, può essere applicata solamente se il divisore è un termine noto non solo del divisore, ma dell’intera divisione.
Controlliamo l’ordine dei termini e, se non è completo, aggiungiamo lo 0 ove manca. Per prima cosa eseguiamo la costruzione come in figura, il termine in basso a sinistra corrisponde al termine noto (1) mentre l’ultimo termine del dividendo va messo all’esterno (-1); ora abbassiamo il primo coefficiente (a) e lo moltiplichiamo per il termine noto, sommandolo poi al secondo coefficiente (1a -> b+a); ripetiamo la stessa operazione fino all’ultimo termine. I termini riportati in basso corrisponderanno al risultato mentre l’ultimo risultato, riportato all’esterno, corrisponderà al resto.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Il simbolo ^ seguito dal numero corrisponde all'elevazione a potenza per quel numero
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