Calcolo del montante in matematica finanziaria

La matematica finanziaria, conosciuta anche come finanza quantitativa, è un campo della matematica applicata che si occupa dei mercati finanziari. In generale, essa arriva ed estendere i modelli matematici e numerici senza stabilire necessariamente un collegamento alla teoria finanziaria, osservando i prezzi di mercato come input. Ad esempio, mentre un economista finanziario potrebbe studiare le ragioni strutturali per cui una società può avere un certo prezzo delle azioni, un matematico finanziario può prendere il prezzo delle azioni come un dato, e tentare di utilizzare il calcolo stocastico per ottenere il corrispondente valore dei derivati ​​di un titolo. Il calcolo del montante è uno dei teoremi fondamentali della matematica finanziaria; nella seguente guida vedremo come eseguire tale calcolo.

In matematica finanziaria, il montante è la somma del capitale iniziale e dell'interesse fruttato in un certo periodo di investimento. Le tipologie di investimento sono due: a regime semplice e a regime composto. Nel primo caso, generalmente riferito a periodi di tempo inferiori ad un anno, l'interesse è applicato al capitale iniziale per tutta la durata dell'investimento ed è quindi direttamente proporzionale al capitale stesso.

L'investimento a regime semplice consiste in una proporzionalità diretta fra tempo, capitale iniziale ed interesse; quindi, I = C * i * t, dove I rappresenta l'interesse totale accumulato in un certo periodo t, partendo da un capitale iniziale C. Il montate sarebbe la somma del capitale iniziale e dell'interesse totale; quindi M = C + I, ma se si sostituisce ad I la formula appena vista per trovare l'interesse totale, otteniamo: M = C + C * i * t, da cui M = C * (1 + i * t).

Infine, nel caso del regime ad interesse composto, il calcolo del montante è un po' più complesso. Supponiamo di investire 100 € con un tasso annuo del 5%; alla fine del primo anno il montante sarà 105 €, ovvero la somma del capitale iniziale e dell'interesse maturato. La differenza con il regime semplice sta nel fatto che l'interesse dell'anno successivo si calcola rispetto a 105 € e non rispetto a 100 €, in quanto l'interesse maturato viene capitalizzato alla fine di ogni periodo. Più in generale, il montante di un investimento a regime composto dopo un solo periodo (t = 1) vale M (1) = C * (1 + i * 1) = C* (1+ i). Dopo due periodi, con t = 2, il montante sarà: M (2) = M (1) * (1 + i * 1) = M (1) * (1+ i), poiché il capitale C ora vale quanto il montante del periodo precedente, cioè M (1), e il periodo in cui si calcola l'interesse rispetto a M (1) è uno solo, quindi t = 1.