Appunti sui sistemi lineari

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Questa guida è finalizzata a introdurre le definizioni dei termini utilizzati nei sistemi di equazioni lineari e a illustrare i teoremi e i metodi di analisi e di risoluzione di tali sistemi. Prima di iniziare è bene precisare che per la comprensione di questi appunti si presuppone una conoscenza di base della simbologia e del lessico matematici.

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L'equazione lineare

Si definisce "equazione lineare" in n incognite x1, x2, ..., xn, ogni equazione nella forma di a1x1 + a2x2 + anxn= b. A1, a2,..., an sono numeri reali, definiti "coefficienti", mentre b è definito termine "noto". Si possono verificare tre condizioni: l'equazione ammette soluzioni in quanto esiste un numero finito di soluzioni; l'equazione si definisce "incompatibile", ovvero non sono ammesse soluzioni; l'equazione si definisce una "identità" quando le soluzioni sono rappresentate da tutti numeri reali. Se l'insieme delle soluzioni di una equazione è uguale a quello dell'altra, allora le due equazioni lineari sono "equivalenti". Una "omogenea" è una equazione lineare in n incognite il cui termine noto sia nullo.

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Il sistema lineare

Si definisce sistema lineare in m equazioni e in n incognite, un sistema formato da diverse equazioni, ciascuna con propri coefficienti e termini noti. Si definisce "soluzione" di un sistema di equazioni lineari ogni n-pla di numeri reali che sia soluzione di ciascuna equazione del sistema. Un sistema di equazioni lineari si dice "compatibile" se ammette almeno una soluzione; se non è verificata questa condizione si definisce "incompatibile". La "matrice dei coefficienti" contiene i soli coefficienti delle m equazioni del sistema. La matrice "completa" contiene, invece, sia i coefficienti sia i termini noti delle equazioni. Due sistemi lineari nelle stesse incognite si dicono "equivalenti" se le soluzioni dell'uno sono anche quelle dell'altro. Un sistema lineare è compatibile solo se la matrice incompleta e la matrice completa hanno lo stesso rango.

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Il metodo di Kramer

Il metodo di risoluzione di Kramer di un sistema lineare di m equazioni in n incognite prevede: m=n e la matrice del sistema deve avere rango n. A queste condizioni il determinante della matrice del sistema si definisce "determinante" del sistema. Il determinante del sistema risulterà non nullo percè la matrice ha rango massimo. Il sistema di Kramer ammette una e una sola soluzione data da xj=Dj/D, dove: j=1, 2, ..., n; D è il determinante del sistema e Dj è il determinante ottenuto sostituendo la colonna j-ma con quella dei termini noti b1, b2, ..., bn.

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