Appunti sui numeri periodici e le frazioni generatrici

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Cosa intendiamo, in matematica, per numeri periodici? Nulla di più semplice comprensione: i numeri periodici sono quei numeri che presentano una cifra (o un gruppo di cifre) che si ripete all'infinito dopo la virgola. Stiamo dunque parlando di numeri decimali, che nascono da frazioni dette generatrici e che sono formate da denominatori e numeratori che non sono tra loro, ovviamente, nè multipli nè divisori. Di seguito alcuni appunti sui tipi di numeri periodici, e su come sia possibile risalire alla loro frazione generatrice.

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Tipi di numeri periodici

Esistono in algebra due tipi di numeri periodici, i semplici e i misti: nei primi, tutto ciò che viene subito dopo la virgola è considerato periodo, e si ripete all'infinito (esempio: 2,363636); discorso diverso meritano i numeri periodici misti che, prima del periodo, presentano una o più cifre che non si ripetono e che formano l'antiperiodo (esempio: 3,15676767).

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Numeri periodici semplici

Nel caso dei numeri periodici semplici, ricavare la frazione generatrice è molto semplice.
Il numeratore della frazione generatrice si ottiene prendendo il numero decimale considerato senza virgola e sottraendovi la parte intera del numero stesso. Osserviamo ad esempio 4,676767... Il numero decimale senza virgola è 467 e la parte intera del numero è 4. Quindi sopra abbiamo: 467- 4 = 463. Al denominatore, invece, scriviamo tanti zeri quante sono le cifre che si ripetono. Nel nostro caso sono due, 67, quindi abbiamo due nove: 99. La frazione generatrice del numero decimale periodico 4,67676767... È 463/99.

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Numeri periodici misti

Nel caso dei numeri decimali periodici misti, le cose si complicano un po', ma il procedimento è lo stesso semplice e meccanico. Per calcolare la prte superiore della frazione, si prende il numero decimale senza la virgola, sottraendovi il numero decimale senza virgola e senza le cifre del periodo. Ad esempio, osserviamo il caso del numero 5,34888888... Il numero decimale senza virgola è 5348, il numero decimale senza virgola e senza periodo è 534, quindi il numeratore vale: 5348 - 534 = 4814. Il denominatore invece, si forma di tanti 9 quante sono le cifre del periodo e di tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo. Nel nostro esempio, il periodo è una sola cifra, 8, mentre l'antiperiodo sono 2 cifre, 34. Il denominatore ha quindi un 9 seguito da due 0: 900. La frazione generatrice del numero 5,34888... È 4814/900.

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Frazione ai minimi termini

Eseguiti i calcoli sopra spiegati, sia il nostro fosse un numero periodico semplice, sia che fosse misto, occorre ridurre la frazione generatrice ai minimi termini, ovvero fare in modo che numeratore e denominatore non abbiano più alcun divisore comune. Per esempio, se la nostra frazione sarà 100/90, è facile capire che entrambi i membri sono divisibili per 10, è che dunque la riduzione ai minimi termine dà come risultato 10/9.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per sicurezza, una volta ottenuta la frazione generatrice, prova, utilizzando la calcolatrice, a dividere il numeratore per il denominatore e controlla che il risultato sia il numero decimale periodico iniziale.

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