Appunti sugli insiemi

Tramite: O2O 16/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica uno dei primi argomenti che si affrontano a scuola è sicuramente quello relativo agli insiemi. Si tratta di uno dei concetti più primitivi della materia ed è creato da assiomi e dimostrazioni molto semplici. Il significato di insieme, in realtà, non è ben definibile poiché ognuno di noi dovrebbe già possederlo nel suo bagaglio culturale di base e tale definizione dovrebbe essere uguale per tutti. Tale impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana. Intuitivamente si può dire che quando abbiamo degli oggetti e sono collegabili fra loro, allora si ha un insieme. Di seguito vedremo alcuni appunti, raccolti in una rapida guida, riguardanti questo argomento matematico che potrebbero rivelarsi molto utili nell'approcciarsi inizialmente a questo tema.

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Come si definisce e si rappresenta un insieme in matematica

In matematica, un insieme è un raggruppamento di elementi che possono essere: oggetti, numeri, animali, cose ecc... Tale unione deve avere la caratteristica di essere ben definita. Gli insiemi vengono indicati con lettere maiuscole (A,B.C....), mentre gli elementi che li compongono vengono indicati con lettere minuscole (a, b,c...). Esiste anche la possibilità di rappresentare graficamente questo concetto matematico e ciò avviene attraverso un diagramma di Venn, ossia disegnando un'ellisse in qualità di linea chiusa, una sorta di cerchio in cui racchiudere gli elementi che costituiscono la totalità presa in considerazione.

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Come si dividono in categorie

Gli insiemi si possono dividere in alcune categorie e si definiscono finiti, infiniti o vuoti. Gli insiemi finiti sono quegli insiemi che comprendono un numero limitato di elementi. Ad esempio A=(1,2,3,4,5) è finito perché costituito in modo che "a" sia un numero naturale minore di 6. Lo stesso esempio, forse più semplice ed intuitivo, è A=(a/a è una stagione) ovvero A=(primavera, estate, autunno, inverno).
Gli insiemi infiniti, viceversa, sono quegli insiemi che contengono un numero infinito di elementi. Esempi di insiemi infiniti sono: N ossia insieme dei numeri naturali, dove sono possibili operazioni di somma e moltiplicazione, in simboli tale raggruppamento si scrive come N=(1,2,3,4,5,....n....); Z ossia l'insieme dei numeri relativi, dove è possibile anche l'operazione di sottrazione, in simboli si scrive Z= (+/- 1, +/-2,+/-3, +/-4......); Q ossia l'insieme dei numeri razionali, dove è possibile anche la divisione, in simboli si scrive (1/2, 2/4.......tutte le frazioni....).Gli insiemi vuoti sono quelli in cui non sono presenti elementi al loro interno, mentre quando un elemento fa parte di un suddetto insieme si dice che a (o b, o c...) "appartiene" a A (o B o C....)

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Come e quali operazioni si possono svolgere con gli insiemi

Tra insiemi è possibile anche compiere delle operazioni, in particolare si parla di unione, intersezione e differenza.Dati due insiemi A e B si dice che l'insieme unione è dato da tutti gli elementi che appartengono agli stessi, presi una sola volta. Ad esempio dato A=(2,3,5,7,9,8) e B=( 4,5,8,9,), AUB=(2,3,4,5,7,8,9). Si dice che B è sottoinsieme di A quando ogni suo elemento appartiene ad A, ma almeno un elemento di quest ultimo non appartiene a B. Ad esempio A=(farfalla, mosca, ragno, coleottero, scarabeo) e B=(b/b è un insetto di A con le ali). In questo caso, B=(farfalla, mosca) ed è un sottoinsieme di A. Si dice altresì che B è contenuto in A. Si parla, in questi casi, di sottoinsieme proprio.Dati due insiemi A e B, si chiama intersezione l'insieme formato dagli elementi in comune tra i due. Il simbolo usato in questo caso è una U scritta al contrario. Ad esempio se abbiamo A=(2,5,8,9,6,) e B=(1,5,7,9), l'intersezione sarà un insieme composto dal numero 5 e 9. Se non ci sono elementi in comune l'insieme sarà vuoto.Dati due insiemi A e B, si chiama differenza l'insieme composto dagli elementi che gli stessi non hanno in comune, ossia quelli che rimangono fuori dall'insieme intersezione. Prendendo come esempio quello fatto precedentemente A-B=(1,2,8,9).

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