Appunti su matrici e determinanti

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è da sempre la materia più ostica per ri studenti di qualsiasi età partire dalle elementari fino agli studi universitarie. La matrice è un insieme di numeri racchiuso in una tabella formata da righe e colonne, allo scopo di individuare i valori che dipendono da diversi parametri; mentre il determinanti forniscono delle utili informazioni circa la trasformazione della matrice. La teoria delle matrici, dunque, sviluppata in stretta connessione con la teoria dei vettori, ha trovato notevoli applicazioni in molte branche sia della Matematica che della Fisica. Ecco alcuni appunti su matrici e determinanti.

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Definizione di matrice

Si definisce matrice ad m righe ed n colonne o brevemente matrice di ordine m ´ n e la si indica, per comodità, con una lettera maiuscola dell’alfabeto, una m-upla ordinata di n-uple ordinate. Gli elementi di una medesima n-upla si dicono righe, quelli aventi il medesimo indice in n-uple diverse si dicono colonne. Se si ha una matrice rettangolare si possono estrarre delle matrici quadrate i cui determinanti si dicono minori esatti della matrice A. Il numero di righe o colonne cosi estratte si dice ordine del minore.
Si chiama caratteristica o rango della matrice A l' ordine massimo dei minori non tutti nulli che si possono estrarre da A.

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La matrice quadrata

Una matrice quadrata D si dice diagonale se in essa sono nulli tutti gli elementi al di fuori di quelli che si trovano sulla diagonale principale. Una matrice quadrata A di ordine n si dice triangolare superiore se sono nulli tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale; al contrario si dice triangolare inferiore se sono nulli tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale.
Data una qualunque matrice A di ordine m ´ n si definisce trasposta di A e la si indica con A T la matrice di ordine n ´ m ottenuta da A scambiando le righe con le colonne.

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Calcolo de determinante

Siano m > 1 ed n > 1. Fissato un elemento qualsiasi aij della matrice A di ordine m ´ n, si definisce minore complementare di aij e lo si indica con Aij la matrice, di ordine (m - 1) ´ (n - 1), che si ottiene da A escludendo tutti gli elementi della riga i-esima e della colonna j-esima. Data una matrice A di ordine m ´ n, si definisce minore di ordine m-i, estratto da A, il determinante ottenuto dalla matrice sopprimendo i righe e j colonne in modo che sia m-i = n-j. Sia aij un elemento qualsiasi di una matrice quadrata A di ordine n ³ 2. Si chiama complemento algebrico di aij, e si indica con Aij, il determinante del minore complementare di aij preso con il segno positivo o negativo a seconda che la somma i + j sia rispettivamente pari o dispari.

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