Appunti di trigonometria: funzioni goniometriche derivate da sin e cos

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Difficoltà: media
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Introduzione

La trigonometria, il cui nome deriva dal greco e significa "risoluzione del triangolo", è quella branca della matematica destinata appunto allo studio dei triangoli, partendo dai loro angoli. Tramite delle particolari funzioni, dette goniometriche o trigonometriche, la materia si propone di calcolare e risolvere le misure degli elementi base di questa particolare figura geometrica, ovvero le sue mediane, i suoi angoli, i suoi lati e via dicendo. Le funzioni trigonometriche più importanti sono il seno "sin" ed il coseno "cos". Il seno dell'angolo α viene definito quel valore dato dalla coordinata y nel punto d'incontro della semiretta e della circonferenza; il tutto nell'ambito appunto di una determinata circonferenza, che abbia il centro corrispondente alll'origine di un sistema di assi cartesiani. Mentre, se si tiene in considerazione la semiretta che esce dall'origine e che dà luogo ad un angolo α con l'asse delle ascisse, il valore della coordinata y nel punto di incontro della semiretta e della circonferenza, viene definito coseno dell'angolo α. Pertanto il coseno dell'angolo α sarà anche il valore della coordinata y sempre nello stesso punto d'incontro poc'anzi descritto. Si precisa tuttavia che il seno è una funzione dispari, nella quale è valida la relazione sin (−α) = − sin (α), mentre il coseno è una funzione pari, ovvero in questo caso è valida la relazione cos (−α) = cos (α). Dalle funzioni di seno e coseno vengono originate, a loro volta, anche altre funzioni di fondamentale importanza. Questi appunti di trigonometria ci descriveranno in particolar modo le funzioni goniometriche derivate da sin e cos.

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Cominceremo trattando della "tangente", la prima delle funzioni derivate da seno e coseno. Con tale termine viene definito il rapporto tra seno e coseno dello stesso angolo: tan α = sin α / cos α. La tangente è una funzione dispari come il seno e dunque in questo contesto è valida la relazione: tan (−α) = − tan (α). Si tratta di una funzione periodica, come il seno ed il coseno, nel suo argomento α di periodo π, ossia: tan (α + kπ) = tan α; e la sua funzione inversa si chiama "arcotangente", mentre il suo reciproco viene denominato "cotangente".

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Un'altra funzione derivata da seno e coseno è la già citata "cotangente". Questa è il rapporto tra il coseno e il seno di uno stesso angolo: cot α = cos α / sin α, quindi l'inverso della tangente: cot α = 1 / tan α. La cotangente è anch'essa sia una funzione dispari: cot (−α) = − cot (α), sia una funzione periodica: cot (α + kπ) = cot α. La funzione inversa della cotangente è l'arcocotangente.

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La terza funzione derivata è la "secante". Questa è definita come l'inverso del coseno di uno stesso angolo: sec α = 1 / cos α. La secante è una funzione pari sec (−α) = sec (α), e presenta la stessa periodicità del coseno, dunque il suo periodo è T = 2π e cioè: sec (α + 2kπ) = sec (α).

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L'ultima funzione derivata da seno e coseno è la "cosecante". Questa non è nient'altro che l'inverso del seno di uno stesso angolo: csc α = 1 / sin α. È una funzione dispari: csc (−α) = − csc (−α), ed ha la stessa periodicità del seno, quindi il suo periodo è T = 2π e cioè: csc (α + 2kπ) = csc (α).

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