Appunti di teoria degli insiemi

Tramite: O2O 03/05/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

La guida che svilupperemo nei passi che seguiranno avrà come tematica fondante gli insiemi. Come indicato ampiamente nel titolo che accompagna la guida, vi offriremo alcuni appunti di teoria degli insiemi. Cominciamo le nostre argomentazioni su questa tematica.
La teoria degli insiemi è la branca della matematica che studia appunto gli insiemi, che sono collezioni di oggetti. Sebbene qualsiasi tipo di oggetto possa essere raccolto in un insieme, la teoria degli insiemi è applicata più spesso agli oggetti che sono rilevanti per la matematica. Il linguaggio della teoria degli insiemi può essere utilizzato nelle definizioni di quasi tutti gli oggetti matematici.

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Insiemi e sottoinsiemi

La relazione binaria esistente tra un elemento interno all'insieme denominato, per esempio A, e l'insieme A stesso, è la base della teoria degli insiemi. Un elemento interno all'insieme A, possiamo denominarlo con "o", ovvero, "o" appartenente all'insieme A, che verrà indicato attraverso questo linguaggio "o ? A". Se tutti gli elementi del gruppo A sono anche elementi del gruppo B, allora A è un sottoinsieme di B e si scrive A ? B. Ad esempio, {1,2} è un sottoinsieme di {1,2,3}, invece {1,4} non lo è. Da questa definizione è chiaro che un insieme è sempre un sottoinsieme di se stesso. Inoltre, A è un sottoinsieme proprio di B se e solo se A è un sottoinsieme di B, ma B non è un sottoinsieme di A.

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Le relazioni tra gli insiemi

Quando gli insiemi denominati come insieme A e insieme B entrano in unione, lo indichiamo attraverso questo linguaggio "A ? B". Con esso, intendiamo indicare l'unione di tutti elementi interni ai due insiemi A e B. Per fare un esempio chiarificatore, l'unione di {1, 2, 3} e {2, 3, 4} è l'insieme {1, 2, 3, 4}. Quando parliamo d'intersezione tra due insiemi A e B, andiamo a indicarla attraverso questo linguaggio A ? B, per esprimere l'insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A sia a B; per esempio, l'intersezione di {1, 2, 3} e {2, 3, 4} è l'insieme {2, 3}; l'insieme differenza tra B e A, indicato con B \ A, è l'insieme di tutti gli elementi di B che non sono elementi di A; per esempio l'insieme differenza {1,2,3} \ {2,3,4} è {1}, mentre, al contrario, l'insieme differenza {2,3,4} \ {1,2,3} è {4}. Quando A è un sottoinsieme di B, l'insieme differenza B \ A è anche chiamato complemento di A in B.

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Il prodotto cartesiano

Inoltre, la differenza simmetrica degli insiemi A e B, indicata con A ? B o A ? B, è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono solo ad uno dei due insieme, ma non ad entrambi. Per esempio, per gli insiemi {1,2,3} e {2,3,4}, l'insieme differenza simmetrico è {1,4}. In pratica, è l'insieme differenza tra l'unione e l'intersezione, (A ? B) \ (A ? B) o (A \ B) ? (B \ A).
Per esprimere la relazione esistente tra l'insieme A e l'insieme B attraverso il prodotto cartesiano, ci serviamo di questo linguaggio, indicandolo come "A × B". Con esso, andiamo a esprimere le possibili coppie ordinate di elementi che si possono andare a formare tra gli elementi interni ai due insiemi (a, b), in cui un "a" è un elemento di A e "b" è un elemento di B. Ad esempio, il prodotto cartesiano di {1, 2} e {rosso, bianco} è {(1, rosso), (1, bianco), (2, rosso), (2, bianco)}. Infine, l'insieme potenza di un insieme A è l'insieme i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi di A. Ad esempio, l'insieme potenza di {1, 2} è {{}, {1}, {2}, {1,2}}.
Per concludere quest'argomentazione, vi consiglio la lettura di questo contenuto: https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi.

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