Appunti di teoria degli insiemi

tramite: O2O
Difficoltà: media
15

Introduzione

La guida che svilupperemo nei passi che seguiranno avrà come tematica fondante gli insiemi. Come indicato ampiamente nel titolo che accompagna la guida, vi offriremo alcuni appunti di teoria degli insiemi. Cominciamo le nostre argomentazioni su questa tematica.
La teoria degli insiemi è la branca della matematica che studia appunto gli insiemi, che sono collezioni di oggetti. Sebbene qualsiasi tipo di oggetto possa essere raccolto in un insieme, la teoria degli insiemi è applicata più spesso agli oggetti che sono rilevanti per la matematica. Il linguaggio della teoria degli insiemi può essere utilizzato nelle definizioni di quasi tutti gli oggetti matematici.

25

Insiemi e sottoinsiemi

La relazione binaria esistente tra un elemento interno all'insieme denominato, per esempio A, e l'insieme A stesso, è la base della teoria degli insiemi. Un elemento interno all'insieme A, possiamo denominarlo con "o", ovvero, "o" appartenente all'insieme A, che verrà indicato attraverso questo linguaggio "o ∈ A". Se tutti gli elementi del gruppo A sono anche elementi del gruppo B, allora A è un sottoinsieme di B e si scrive A ⊆ B. Ad esempio, {1,2} è un sottoinsieme di {1,2,3}, invece {1,4} non lo è. Da questa definizione è chiaro che un insieme è sempre un sottoinsieme di se stesso. Inoltre, A è un sottoinsieme proprio di B se e solo se A è un sottoinsieme di B, ma B non è un sottoinsieme di A.

35

Le relazioni tra gli insiemi

Quando gli insiemi denominati come insieme A e insieme B entrano in unione, lo indichiamo attraverso questo linguaggio "A ∪ B". Con esso, intendiamo indicare l'unione di tutti elementi interni ai due insiemi A e B. Per fare un esempio chiarificatore, l'unione di {1, 2, 3} e {2, 3, 4} è l'insieme {1, 2, 3, 4}. Quando parliamo d'intersezione tra due insiemi A e B, andiamo a indicarla attraverso questo linguaggio A ∩ B, per esprimere l'insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A sia a B; per esempio, l'intersezione di {1, 2, 3} e {2, 3, 4} è l'insieme {2, 3}; l'insieme differenza tra B e A, indicato con B \ A, è l'insieme di tutti gli elementi di B che non sono elementi di A; per esempio l'insieme differenza {1,2,3} \ {2,3,4} è {1}, mentre, al contrario, l'insieme differenza {2,3,4} \ {1,2,3} è {4}. Quando A è un sottoinsieme di B, l'insieme differenza B \ A è anche chiamato complemento di A in B.

Continua la lettura
45

Il prodotto cartesiano

Inoltre, la differenza simmetrica degli insiemi A e B, indicata con A △ B o A ⊖ B, è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono solo ad uno dei due insieme, ma non ad entrambi. Per esempio, per gli insiemi {1,2,3} e {2,3,4}, l'insieme differenza simmetrico è {1,4}. In pratica, è l'insieme differenza tra l'unione e l'intersezione, (A ∪ B) \ (A ∩ B) o (A \ B) ∪ (B \ A).
Per esprimere la relazione esistente tra l'insieme A e l'insieme B attraverso il prodotto cartesiano, ci serviamo di questo linguaggio, indicandolo come "A × B". Con esso, andiamo a esprimere le possibili coppie ordinate di elementi che si possono andare a formare tra gli elementi interni ai due insiemi (a, b), in cui un "a" è un elemento di A e "b" è un elemento di B. Ad esempio, il prodotto cartesiano di {1, 2} e {rosso, bianco} è {(1, rosso), (1, bianco), (2, rosso), (2, bianco)}. Infine, l'insieme potenza di un insieme A è l'insieme i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi di A. Ad esempio, l'insieme potenza di {1, 2} è {{}, {1}, {2}, {1,2}}.
Per concludere quest'argomentazione, vi consiglio la lettura di questo contenuto: https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi.

55

Consigli

Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Come dimostrare la non numerabilità dell'insieme R

L'esempio più noto di un insieme non numerabile è l'insieme R di tutti i numeri reali; l'argomento diagonale di Cantor dimostra che questo insieme è incalcolabile. La tecnica della diagonalizzazione può anche essere usata per mostrare che molti altri...
Elementari e Medie

Appunti sugli insiemi

In matematica uno dei primi argomenti che si affrontano a scuola è sicuramente quello degli insiemi. Si tratta di qualcosa di molto semplice, sia teoricamente che in pratica. Essendo uno dei concetti più primitivi della matematica, il significato di...
Superiori

Operazioni tra gli insiemi numerici

In matematica, gli insiemi non sono altro che una collezione di oggetti: numeri, lettere o figure. Gli esempi più banali sono, ad esempio, gli alunni di una classe o una raccolta di monete. Le regole che li governano compongono le basi della matematica...
Superiori

Come determinare la frontiera di un insieme

Nella matematica, in particolare per quanto riguarda la branca della "topologia", è abbastanza comune imbattersi nel concetto di "insieme": in particolare, esso rappresenta uno spazio che può essere aperto (se ci si può spostare da ciascun punto dell'insieme...
Università e Master

Come dimostrare il Teorema di Bernstein

Prima di iniziare col discorrere del Teorema di Bernstein, è d'obbligo un piccolo chiarimento al fine di evitare ogni dubbio o fraintendimento nel lettore. Ed è bene aggiungere che i vari Bernstein non sono la stessa persona: si tratta di un curioso...
Superiori

Come determinare un sottospazio vettoriale

In ambito algebrico si ha spesso a che fare con vettori, ovvero elementi matematici n-dimensionali caratterizzati da un modulo e un verso. I vettori sono, quindi, appartenenti ad una struttura detta "spazio vettoriale", la quale può essere suddivisa...
Università e Master

Come calcolare l'integrale di Lebesgue

In analisi applicata, l’integrale di Lebesgue è uno metodo che permette di misurare l’integrale di una funzione, rispetto al valore stabilito su un σ-algebra. Il sigma-algebra di un insieme A consiste in un gruppo di sottoinsiemi di A, tali da vantare...
Elementari e Medie

Come rappresentare graficamente gli insiemi

Come ben sappiamo in matematica quando si parla di insiemi, si vuole indicare un raggruppamento di numeri, oggetti, parole. Oppure altro che a loro volta vengono poi definiti come elementi dell'insieme. Affinché quest'ultimi siano assegnati a un determinato...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.