Appunti di teoria degli insiemi

tramite: O2O
Difficoltà: media
15

Introduzione

La guida che svilupperemo nei passi che seguiranno avrà come tematica fondante gli insiemi. Come indicato ampiamente nel titolo che accompagna la guida, vi offriremo alcuni appunti di teoria degli insiemi. Cominciamo le nostre argomentazioni su questa tematica.
La teoria degli insiemi è la branca della matematica che studia appunto gli insiemi, che sono collezioni di oggetti. Sebbene qualsiasi tipo di oggetto possa essere raccolto in un insieme, la teoria degli insiemi è applicata più spesso agli oggetti che sono rilevanti per la matematica. Il linguaggio della teoria degli insiemi può essere utilizzato nelle definizioni di quasi tutti gli oggetti matematici.

25

Insiemi e sottoinsiemi

La relazione binaria esistente tra un elemento interno all'insieme denominato, per esempio A, e l'insieme A stesso, è la base della teoria degli insiemi. Un elemento interno all'insieme A, possiamo denominarlo con "o", ovvero, "o" appartenente all'insieme A, che verrà indicato attraverso questo linguaggio "o ∈ A". Se tutti gli elementi del gruppo A sono anche elementi del gruppo B, allora A è un sottoinsieme di B e si scrive A ⊆ B. Ad esempio, {1,2} è un sottoinsieme di {1,2,3}, invece {1,4} non lo è. Da questa definizione è chiaro che un insieme è sempre un sottoinsieme di se stesso. Inoltre, A è un sottoinsieme proprio di B se e solo se A è un sottoinsieme di B, ma B non è un sottoinsieme di A.

35

Le relazioni tra gli insiemi

Quando gli insiemi denominati come insieme A e insieme B entrano in unione, lo indichiamo attraverso questo linguaggio "A ∪ B". Con esso, intendiamo indicare l'unione di tutti elementi interni ai due insiemi A e B. Per fare un esempio chiarificatore, l'unione di {1, 2, 3} e {2, 3, 4} è l'insieme {1, 2, 3, 4}. Quando parliamo d'intersezione tra due insiemi A e B, andiamo a indicarla attraverso questo linguaggio A ∩ B, per esprimere l'insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A sia a B; per esempio, l'intersezione di {1, 2, 3} e {2, 3, 4} è l'insieme {2, 3}; l'insieme differenza tra B e A, indicato con B \ A, è l'insieme di tutti gli elementi di B che non sono elementi di A; per esempio l'insieme differenza {1,2,3} \ {2,3,4} è {1}, mentre, al contrario, l'insieme differenza {2,3,4} \ {1,2,3} è {4}. Quando A è un sottoinsieme di B, l'insieme differenza B \ A è anche chiamato complemento di A in B.

Continua la lettura
45

Il prodotto cartesiano

Inoltre, la differenza simmetrica degli insiemi A e B, indicata con A △ B o A ⊖ B, è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono solo ad uno dei due insieme, ma non ad entrambi. Per esempio, per gli insiemi {1,2,3} e {2,3,4}, l'insieme differenza simmetrico è {1,4}. In pratica, è l'insieme differenza tra l'unione e l'intersezione, (A ∪ B) \ (A ∩ B) o (A \ B) ∪ (B \ A).
Per esprimere la relazione esistente tra l'insieme A e l'insieme B attraverso il prodotto cartesiano, ci serviamo di questo linguaggio, indicandolo come "A × B". Con esso, andiamo a esprimere le possibili coppie ordinate di elementi che si possono andare a formare tra gli elementi interni ai due insiemi (a, b), in cui un "a" è un elemento di A e "b" è un elemento di B. Ad esempio, il prodotto cartesiano di {1, 2} e {rosso, bianco} è {(1, rosso), (1, bianco), (2, rosso), (2, bianco)}. Infine, l'insieme potenza di un insieme A è l'insieme i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi di A. Ad esempio, l'insieme potenza di {1, 2} è {{}, {1}, {2}, {1,2}}.
Per concludere quest'argomentazione, vi consiglio la lettura di questo contenuto: https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi.

55

Consigli

Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Appunti sulla teoria della relatività

Avete dubbi sulla teoria della relatività e non sapete come risolverli? Non temete, in questo tutorial vi forniremo dei brevi appunti a riguardo.Prima di introdurre l’argomento, dovete avere chiaro il concetto di teoria della relatività. Il principio...
Superiori

Appunti di chimica: la teoria degli orbitali molecolari

Nel campo della chimica, la teoria degli orbitali molecolari permette di stabilire i legami che intercorrono tra le molecole e di determinarne la struttura molecolare. E’ bene ricordare che, nella meccanica quantistica, esistono due diversi principi...
Superiori

Appunti di teoria del volo

In primis Leonardo da Vinci: il tempo dedicato all'osservazione del volo degli uccelli, lo studio del movimento meccanico dell'ala, le sue riflessioni sulla resistenza dell'aria associate alla sperimentazione lo portarono alla formulazione della prima...
Superiori

Operazioni tra gli insiemi numerici

In matematica, gli insiemi non sono altro che una collezione di oggetti: numeri, lettere o figure. Gli esempi più banali sono, ad esempio, gli alunni di una classe o una raccolta di monete. Le regole che li governano compongono le basi della matematica...
Superiori

Appuntunti sulla teoria delle stringhe

La meccanica quantistica e la relatività generale si avvicinano nella teoria delle stringhe. In questa guida cercheremo di fornire gli appuntunti necessari per sostenere un'esame universitario o una piccola interrogazione sulla teoria delle stringhe....
Superiori

Chimica: la teoria degli orbitali di valenza

In chimica il legame di valenza (VB) rappresenta due teorie di base: insieme orbitale (MO) e teoria molecolare; queste teorie sono state sviluppate per utilizzare i metodi della meccanica quantistica per spiegare il legame chimico. Il legame si concentra...
Superiori

La teoria dell'evoluzione

Animali e pianti sono organismi viventi, suddivisi in ordini e in famiglie. La loro classificazione è possibile perché esistono le specie che raggruppano gli essere viventi, in modo più o meno omogeneo. Tramite la teoria dell'evoluzione della specie,...
Superiori

Scienze: la teoria della tettonica a zolle

Nel 1967 venne formulata la teoria della tettonica a zolle e perfezionata l'anno successivo a opera di D. P. Mckanzie, R. L. Parker e J. Morgan. Si suppone l'esistenza di otto placche principali e di altre secondarie (microplacche) che si muovono con...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.