Appunti di matematica: le equazioni e le disequazioni

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Equazioni e disequazioni sono un argomento spesso ostico ma con i giusti appunti di matematica può essere davvero facile comprenderle. Le equazioni sono una uguaglianza numerica tra due espressioni contenenti una o più incognite. Queste possono essere di diverso grado a seconda dell'esponente presente nell'espressione. A seconda del grado avranno anche un diverso numero di soluzioni. Per quanto riguarda le disequazioni, esse rappresentano una disuguaglianza che viene verificata con determinati valori assegnati alle incognite presenti nelle espressioni. In questa breve guida, vedremo un esempio di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado con anche qualche esercizio risolto per aiutarne la comprensione.

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Occorrente

  • Calcolatrice
  • Nozioni di base di matematica (MCD, mcm, tabelline...)
  • Carta e penna
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Equazioni letterarie

Sono equazioni letterarie quelle che, oltre ad avere una incognita x, contengono anche altre lettere. Per capire risolviamo questa equazione:
ax -a = 4x -1 si dovranno spostare i termini -> ax -4x = a -1 si dovrà raccogliere l'incognita -> x (a-4) = a-1 per ottenere la forma normale. Per terminare l'equazione si dovrà discutere il valore che può prendere il coefficiente letterario, ovvero:
quando a-4 # a = 4, l'equazione in questo caso sarà determinata e la soluzione risulterà: x = (a- 1)/ (a-4)
quando a-4= 0 a = 4 per l'equazione diventa 0x -4 -> impossibile poiché non ha soluzioni.

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Equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni che nell'incognita x, in forma normale, si possono scrivere nella forma ax2 + bx + c = 0 dove a# 0 ed a, b e c appartenenti ad R si definiscono equazioni di secondo grado. Si definisce equazione completa se ci sono tutti e tre i termini, se manca il termine b (ossia ha valore 0) si definisce pura, se non è presente il termine c, la si qualifica come spuria. Se b=0 e c= 0 la forma dell'equazione sarà: ax2 + c = 0 e la sua soluzione diventerà: x= 0 Per risolvere l'equazione pura nella sua forma ax2+ c = 0 sarà sufficiente isolare il termine con la x, vediamo un esempio:
x2 -9 = 0 -> x2 = 9x = +/- la radice quadrata di 9, per cui x = +/ - 3
Per risolvere la spuria nella forma ax2 + bx = 0 si dovrà raccogliere l'incognita ed applicare la legge dell'annullamento del prodotto. Ad esempio:
x2+ 9x = 0 -> x (x + 9) = 0 -> x = 0 x+9 = 0 ->x = -9.

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Disequazioni di primo grado

Passiamo ora alle disequazioni. Si definiscono equivalenti quando due disequazioni hanno le stesse soluzioni. Per trovare la forma normale, corrispondente a ax + b >/< 0, si dovrà portare i termini di una disequazione al primo membro ottenendo Px > 0. Si parla di disequazione di primo grado quando l'incognita non ha elevazione alla seconda, di secondo grado quando invece è presente. Rammenta che per le disequazioni vale il principio di equivalenza, ossia aggiungendo uno stesso polinomio ai due membri dell'espressione si ha una disequazione equivalente. Per eseguirle dovrai spostare i termini, cambiando il segno, da un membro all'altro, moltiplicare o dividere per lo stesso valore sempre positivo ed eliminare i denominatori dopo aver calcolato il m. C. M. Vediamo un esempio chiarificatore:
3/4 + x > 2x + 1/2 - > si calcola il m. C. M ottenendo - > (3 + 4X) /4 > (8X + 2) / 4, si elimina il denominatore - > 3 + 4x > 8x + 2 - > 4x - 8x > - 3 + 2 -> -4x > -1 -> x -> 1/4.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Iniziate con esercizi semplici e solo successivamente provate con quelli più difficili.
  • In matematica bisogna sempre avere delle buone basi.
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