Appunti di geometria: curva cicloide di Galileo Galilei

Tramite: O2O 02/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Siamo abituati a studiare la geometria del moto in sistemi di riferimenti fissi, ossia dove le eventuali variazioni sono discontinue e l'analisi si limita ad essere locale e solo successivamente si costruiscono i punti di raccordo. Le curve polari mobili sono costrutti geometrici piuttosto complicati da capire, e che si basano su un sistema di riferimento mobile. Questa curva ha la caratteristica di essere segnata da un punto fisso su una circonferenza che rotola su una linea retta. Il primo a studiare questa cicloide fu Nicola Cusano, ma poi venne approfondita e definita da Galileo Galilei e da lui ricevette questo nome. Esistono molte altre figure simili, basate sul concetto della "rulletta" o "polare mobile". Con questa guida ci interesseremo solo della curva cicloide di Galileo Galilei, fornendo alcuni appunti teorici di geometria.

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Occorrente

  • Circonferenza
  • Punto
  • Carta a quadretti
  • Matita
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Tipologie di cicloidi

Le curve cicloidi sono principalmente tre, e sono definite in base alla posizione del punto generatore nei confronti della circonferenza di riferimento. La prima, ovvero la curva cicloide ordinaria, che altro non è che una curva che viene definita come il luogo dei punti P su una determinata circonferenza che gira su una retta. Viene detta curva cicloide accartocciata, invece, quando il punto P non si presente sulla circonferenza ma su un punto interno. Al contrario, invece, se il punto P si trova all'esterno dalla circonferenza questa è chiamata curva cicloide allungata. Queste tre semplici cicloide hanno delle caratteristiche in comune. Una delle prime peculiarità sono le proprietà metriche, come la loro area, che è ben tre volte superiore all'area del cerchio esercitato per creare le curve cicloide e, per di più, la lunghezza del loro arco è quattro volte il diametro del cerchio.

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Proprietà delle cicloidi

Per quanto riguarda le loro proprietà matematiche e fisiche, hanno creato nel corso dei secoli accese discussioni tra gli scienziati, arrivando alle seguenti conclusioni. In primo luogo le curve cicloide sono isocrone, poiché se un qualsiasi pendolo percorresse la curva, il suo tempo di percorrenza rimarrebbe costante indipendentemente dal suo dondolamento e dalla sua estensione. Una curva cicloide è tautocrona dal momento che se due sfere venissero fatte scivolare sulla curva da altezze diverse, queste raggiungerebbero il fondo nello stesso tempo. Ulteriormente la curva cicloide è brachistocrona, giacché un qualsiasi corpo solido che scivola sulla curva impiega meno tempo di tragitto di un percorso da due punti dati.

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Applicazioni artistiche e pratiche

Infine si può spiegare che le curve cicloide si possono suddividere per genere, ossia se invece di farla percorrere sulla retta di una circonferenza, la si fa viaggiare su una seconda circonferenza più grande ed esterna questa curva viene chiamata epicicloide. Contrariamente, se si sposta rotolando internamente questa è una curva ipocicloide. In questa maniera si ottiene un oggetto simpatico, usato dai grafici per le decorazioni, che si chiama spirografo. Per quanto riguarda le applicazioni pratiche, oltre allo studio dei pistoni per trazione diretta, come quelli dei treni e degli eccentrici in meccanica, le curve cicloidi si usano in astronomia per studiare, ovviamente adattandole al caso, le traiettorie dei corpi celesti.

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