Applicazione delle formule di bisezione su funzioni trigonometriche

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La trigonometria è quella branca della matematica che fornisce gli strumenti necessari allo studio delle misure caratteristiche di un triangolo (lati ed angoli) partendo da altre misure note. Si utilizzano per questo scopo delle apposite funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente.
Esistono svariate relazioni che legano queste funzioni e le rendono più comode da utilizzare.
Qui vengono introdotte le formule di bisezione di queste tre funzioni principali e la loro applicazione. Le formule di bisezione permettono di calcolare il seno, il coseno e la tangente di metà di un angolo (a/2).

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Occorrente

  • Fogli
  • Penna
  • Calcolatrice
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Bisezione del seno

La formula di bisezione del seno è la seguente: Sin(a/2)= + - (1-Cos (a) / 2)^1/2
La formula può essere ricavata partendo dalla relazione: Cos (2x) = 1-2Sin^2(x)
Si effettua la sostituzione 2x=a e quindi Cos (a) = 1-2Sin^2(a/2).
Volendo esplicitare a/2 si ottiene Sin^2(a/2) = (1-Cos (a)/ 2).
Si estrae la radice quadrata di entrambi i membri e si ottiene la relazione di bisezione del seno con il segno + - che dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo.

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Bisezione del coseno

La formula di bisezione del coseno è la seguente: Cos (a/2)= + - (1+Cos (a) / 2)^1/2
La formula può essere ricavata partendo dalla relazione: Cos (2x) = 2Sin^2(x)-1
Si effettua la sostituzione 2x=a e quindi Cos (a) = 2Cos^2(a/2)-1.
Volendo esplicitare a/2 si ottiene Cos^2(a/2) = (1+Cos (a)/ 2).
Si estrae la radice quadrata di entrambi i membri e si ottiene la relazione di bisezione del coseno con il segno + - che dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo.

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Bisezione della tangente

La formula di bisezione della tangente è la seguente Tang (a/2)= +- ((1-Cos (a)) / (1+Cos (a))^1/2
La formula si ricava partendo dalla relazione fondamentale: Tang (a/2)= (Sin (a) /2) / (Cos (a) / 2) e quindi Tang (a/2)= (1-Cos (a) /2) / (1+Cos (a) / 2). Semplificando si ottiene la relazione finale di bisezione della tangente con il segno + - che dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo.

Per la formula di bisezione della tangente bisogna porre attenzione al fatto che quest'ultima è valida soltanto se è soddisfatta la condizione di esistenza della tangente stessa ovvero quando "a" è diverso da 180° + k360°.

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Esempio di applicazione

Si vuole conoscere il valore del seno un angolo di 45°/2. L'angolo non è noto dalla trigonometria perciò è possibile applicare la formula di bisezione del seno e ricondurlo ad un caso semplice.
Sin (45°/2) = + (1-Cos (45°) /2)^1/2
Il segno + è stato scelto perché l'angolo cade nel primo quadrante.
Il Cos (45°) = ((2)^1/2) / 2 ed è quindi possibile calcolare con facilità il Sin (45°/2).

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Utilizzo delle formule di bisezione

Le formule di bisezione sono utili per esprimere in maniera più semplice un seno, un coseno o una tangente di metà di un angolo. Per questo motivo le formule trovano largo impiego nelle dimostrazioni matematiche o nella risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche. Per accelerare la memorizzazione è consigliato svolgere alcuni esercizi come quello presentato precedentemente.

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