Analisi matematica: le derivate

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Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica, la derivata di una funzione descrive la crescita della funzione stessa in relazione al suo argomento. I campi di applicazione delle funzioni derivate sono davvero tanti, ed essendo alla base dell'analisi matematica, lo studio delle derivate è solitamente uno dei primi argomenti trattati nelle scuole, assieme allo studio degli integrali, per introdurre appunto quella branca della matematica nota come analisi.

Anche se può sembrare un argomento molto complesso, in realtà il calcolo delle derivate è davvero molto semplice se paragonato ad altri argomenti matematici che si studiano in quel periodo, come dimostrerà in maniera chiara ed esaustiva questo articolo.

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Coefficiente angolare

In matematica una derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente ad un qualsiasi punto di una funzione. Avendo dunque una funzione f (x), la sua derivata f'(x) risulterà in una equazione in cui per ogni valore appartenente al dominio di f (x) si avrà il coefficiente angolare della tangente alla funzione f nella coordinata x.

f'(x) è la derivata prima della funzione f (x), dalla quale a sua volta può essere calcolata la derivata seconda f''(x) di f (x), e così via. Gli scopi per cui possa servire una derivata seconda o terza possono essere diversi, ma ciò che rappresentano ed il modo di calcolarle resta lo stesso.

Faremo ora un esempio molto pratico: data la funzione f (x)= 5x+x^2, derivandola avremo una funzione f'(x)= 5+2x. Se alla x della derivata sostituissimo un qualsiasi numero appartenente al dominio di f (x), troveremo il valore del coefficiente angolare della retta tangente ad f (x) passante per quel dato punto.

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Regole di derivazione

Per lo studio delle derivate, la cosa fondamentale è ricordare tutte le regole di derivazione, indispensabili per capire come derivare una funzione. Queste regole vanno necessariamente studiate a memoria, da qui non si scappa, e in genere su ogni testo di matematica che tratta l'argomento è presente un comodo schema che i professori, talvolta, consigliano di fotocopiare e ne permettono l'utilizzo durante i test di verifica.

Assieme a tali regole, si trovano anche le derivate fondamentali, che vanno nuovamente imparate a memoria. Queste non sono altro che funzioni generiche già derivate che, imparate a memoria, facilitano la derivazione delle funzioni più complesse.

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Funzioni

Il modo migliore per capire come applicare le regole di derivazione unite all'utilizzo delle derivate fondamentali, è esaminare alcune funzioni con rispettiva derivazione.

Data la funzione f (x)=y con y=x^3, sappiamo che la derivata fondamentale di x^n è pari a nx^(x-1), quindi avremo y'=3x^2.

Dovendo derivare invece y=2+x, bisogna applicare la regola di derivazione della somma e sappiamo secondo cui la derivata y' sarà la somma della derivata di 2 con la derivata di x, che ricordando le derivate fondamentali sono rispettivamente 0 ed 1, ed avremo quindi la y'=1.

Con questo procedimento si potranno derivare funzioni sempre più complesse, ma senza che la difficoltà aumenti molto dato che le regole alla base restano le medesime.

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Esercizi

Ormai sappiamo come funzionano le derivate, quindi arrivati a questo punto la cosa migliore da fare per imparare a svolgerle è iniziare da esercizi semplici e procedere con altri di difficoltà crescente, come sempre nella matematica a fare la differenza sono la costanza e l'applicazione, e questo è valido soprattutto con le derivate in quanto, pur essendo molto semplici, rendono necessaria la memorizzazione di alcuni procedimenti.

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