Ampiezze di angoli particolari

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Si definisce angolo lo spazio compreso tra un vertice e due lati. Pertanto l'angolo non è altro che la parte di piano, illimitata, compresa fra due semirette aventi la stessa origine. Le due semirette sono definite lati dell'angolo e la loro origine in comune O è chiamata vertice; è facile rendersi conto inoltre, che le due semirette delimitano nel piano non uno ma due angoli. Un angolo si può anche considerare come un insieme di semirette appartenenti allo stesso piano ed aventi la stessa origine. La "misura" di un angolo è definita ampiezza e dipende dall'apertura dei suoi lati; l'ampiezza è quindi, una grandezza e come tale misurabile. Ne discende che, per misurare un angolo dobbiamo "scegliere" una unità di misura e confrontarla con l'angolo dato. Il più importante e comune sistema per la misurazione degli angoli è quello "sessagesimale", che ha per unità di misura base, il grado (si indica con: °), corrispondente alla 360esima parte di un angolo giro (l'angolo giro si forma quando facciamo ruotare di un giro completo, il cui valore va da 0° a 360°, i gradi centesimali, con valore compreso tra 0 e 400, oppure in radianti (unità di misura usata in trigonometria), il cui valore varia tra 0 e 2π. Vediamo di seguito come calcolare le ampiezze di alcuni angoli particolari.

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Esistono altri angoli particolari, di cui, anche se non è possibile determinarne per certo la misura precisa, si può conoscere orientativamente l'ampiezza, poiché risulta minore o maggiore di una determinata misura, relativa ad angoli noti. La semiretta s non ha ancora iniziato a ruotare, le due semirette sono pertanto sovrapposte e formano un angolo nullo. La semiretta s ha ruotato fino a disporsi sul prolungamento della semiretta r e le due semirette formano in angolo piatto.
Continuiamo a considerare le due semirette r ed s e il loro vertice V; se facciamo ruotare la semiretta r, in senso antiorario, intorno a V secondo un movimento inferiore ad un quarto di giro (cioè inferiore ad un angolo retto, di 90° o π/2), otteniamo un angolo acuto, la cui misura precisa non è determinabile se non con una misurazione strumentale, ma che certamente sarà compresa tra 0° e 90° (o tra 0 e π/2); per cui se indichiamo con α l'angolo acuto, allora sarà 0° < α < 90°.
Se, invece, facciamo ruotare la semiretta r di un movimento superiore al quarto di giro, ma inferiore al mezzo giro (cioè più dei 90° di un angolo retto e meno dei 180° di un angolo piatto), allora avremo ottenuto un "angolo ottuso", la cui misura certamente sarà superiore a 90°, ma inferiore a 180°: 90° < α < 180°.
Facendo ruotare la semiretta s intorno a V secondo un movimento maggiore a mezzo giro, (e quindi con un ampiezza maggiore di una angolo piatto, di 180° o π), otteniamo un "angolo concavo", la cui ampiezza sarà α > 180°; infine, se la rotazione ha un'ampiezza minore di un angolo piatto, cioè di 180°, allora abbiamo ottenuto un "angolo convesso" (α < 180°).

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Per misurare gli angoli si usa il goniometro, il cui uso non sempre è di facile comprensione, nonostante la sua semplicità. Il goniometro è di forma semicircolare ed ha un piccolo forellino al centro del lato dritto, chiamato origine. La base è una linea dritta che parte dall'origine. Esistono due tipi di goniometro (che è detto anche disco goniometrico), quello a 360°, che rappresenta un angolo giro suddiviso in trecentosessanta parti, ed il goniometro a 180°, che rappresenta un angolo piatto suddiviso in centottanta parti. Il primo ha la forma di un disco cavo al centro, mentre quello a centottanta gradi, ha la forma di un semicerchio; in entrambi, al centro, è indicato in maniera molto visibile un puntino nero.

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Per utilizzarlo, è sufficiente osservare le seguenti istruzioni, che valgono per entrambe le tipologie spiegate in precedenza. Si sovrappone lo strumento all'angolo di cui si vuole conoscere la misura, facendo coincidere il vertice con il centro del goniometro (il puntino nero di cui dicevamo prima) e un lato con la linea che passa dallo zero, rappresentata sul goniometro stesso. È realizzato in modo diverso secondo il genere della misurazione. A questo punto basta osservare dove passa l'altro lato dell'angolo e leggere sulla scala graduata (ogni tacchetta corrisponde a un grado) rappresentata sul goniometro il numero corrispondente, che altro non è che l'ampiezza dell'angolo. Nei goniometri l'unità di misura dell'ampiezza dell'angolo è espressa in gradi sessagesimali, quindi varia da 0° a 360°. È bene ricordare, ma appare del tutto evidente, che un goniometro si usa sia per misurare angoli già disegnati, così come abbiamo descritto, ma anche per disegnare angoli con un'ampiezza data; basta disegnare una linea retta, poggiarvi sopra lo strumento, far coincidere il vertice dell'angolo che si vuole disegnare con lo zero e con una matita tracciare un segnetto in corrispondenza della misura desiderata letta sulla scala graduata. Togliere il goniometro, unire con la matita il vertice con il segno tracciato in precedenza e l'angolo è disegnato. I goniometri in genere hanno due serie di numeri che vanno in direzioni opposte, una nella parte interna dell'arco, l'altra in quella esterna. Questo rende più semplice misurare angoli con origini opposte. Gli angoli acuti misureranno meno di 90°, mentre quelli ottusi più di 90°.

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