Algoritmi per l'approssimazione degli zeri di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Calcolare uno zero in una funzione a variabile reale, nella forma f (x) o in una forma equivalente, è un problema matematico che si presenta spesso nei laboratori di informatica. In un’equazione nella forma f (x)=0 trovare una radice reale, significa calcolare in modo approssimativo gli zeri di una funzione, cioè i valori della x per cui quella funzione si annulla, ovvero calcolare le radici reali determinando, se esistono, i valori numerici che rendono vera l’uguaglianza f (x)=0. La funzione f: si può presentare sotto forma di un polinomio o una funzione razionale, per questi gradi più bassi, la risoluzione del problema passa attraverso formule che determinano in modo preciso, senza approssimazioni, tutti gli zeri. Per polinomi di grado maggiore di 4, non esistono metodi algebrici per calcolare i valori degli zeri. Si parlerà quindi di algoritmi per l'approssimazione degli zeri di una funzione per determinare la soluzione di equazioni sia esse lineari che non lineari.

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Occorrente

  • Profonde conoscenze di matematica applicata, di Analisi, risoluzioni di funzioni e algoritmi
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Esistono 2 metodi per calcolare una funzione: il metodo di bisezione, il metodo delle tangenti. Nel metodo delle tangenti, la struttura ciclica e la condizione di uscita sono identiche. Per trovare applicabilità in questi metodi devono verificarsi delle condizioni quali: in un intervallo [a, b] la funzione deve ammettere uno zero; nell’intervallo [a, b] la funzione deve essere continua; preso l’asse x, la funzione deve essere secante alle ascisse e non deve essere tangente, in pratica il segno della funzione f (x) a sinistra dello zero deve avere di segno opposto a destra dello zero. Per l’intervallo di partenza [a, b] tracciate il grafico della funzione con derive e prendete due valori di x con lo zero, applicando il metodo della separazione delle radici di un’equazione.

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Metodo di Bisezione: definito anche algoritmo dicotomico, è considerato il metodo più facile per trovare i valori delle radici di una funzione. Il metodo consiste nel prendere un punto medio Xm=(a+b)/2 dell'intervallo [a, b] e verificare se Xm è una radice. Prendete dunque un intervallo [a, b], considerate l’intervallo [a, c] dove c è il punto medio tra a e b e calcolate il valore delle funzioni nei due estremi. Si possono verificare due condizioni: se i valori hanno segno opposto, cioè il prodotto ha valore negativo, la funzione è nulla nell’intervallo [a, c], ponete b<--c e ripetete la procedura, al contrario se i valori hanno segno positivo (prodotto positivo), la funzione è nulla in [c, b], ponete a<--c e ripetete la procedura. In pratica avete semplicemente diviso l’intervallo in due e avete calcolato la funzione nel suo punto medio. Avete determinato in quale delle due metà si è verificato un cambiamento di segno, e avete, una volta dimezzato nuovamente, trovato la soluzione in questo nuovo intervallo. Un procedimento che può essere ripetuto fino ad ottenere un valore pressoché preciso. Ha il pregio di essere semplice, il difetto di avere una convergenza lenta. E’ attraverso il metodo delle tangenti e delle secanti che otterrete una maggiore velocità.

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Il metodo delle Tangenti, conosciuto anche come metodo di Newton-Raphson, approssima le soluzioni di un’equazione f (x)=0 in un intervallo [a, b], ponendo che f sia derivabile ed ammetta derivata prima, il metodo converge se la derivata seconda della funzione è costante nel suo intervallo. Ponete un punto prossimo allo zero, l’intersezione dell’asse delle ascisse x con la tangente alla funzione in quel punto ne determina l’approssimazione dello zero. Espresso sotto forma di funzione avremo che:
Xn+1 = Xn –f (Xn)/f’(Xn)
dove in Xn avrete l’approssimazione corrente e in Xn+1 quella successiva.
f (Xn) rappresenta il valore della funzione in Xn
f’(Xn) rappresenta il valore della derivata prima della funzione in Xn
Noterete che la formula converge verso lo zero, solo se detta funzione sia monotona tra lo zero e l’estremo scelto e la tangente, durante il processo, non deve cambiare mai segno per evitare che l’algoritmo diverga e torni indietro.

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