10 limiti notevoli da imparare assolutamente

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Difficoltà: media
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Introduzione

Nello studio della matematica uno degli argomenti più ostici è sicuramente quello riguardante i limiti. Un po per l'astrusità dell'argomento stesso, un po per la sua vastità i limiti risultano essere il tallone d'Achille di numerosi studenti, anche se ferrati in matematica. Gli esercizi sui limiti, per loro natura, sono pressoché infiniti ma, almeno alle scuole superiori, spesso possono essere ricondotti allo studio di alcuni limiti fondamentali, chiamati limiti notevoli. Questi limiti vanno dimostrati e poi imparati, in quanto sono utilissimi nello svolgimento degli esercizi e vanno a dimezzare il lavoro di comprensione della traccia e dello svolgimento. In questa guida vedremo solo dieci dei limiti notevoli da imparare assolutamente.

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Funzione esponenziale

Il limite di x che tende a meno infinito di una funzione con base elevata ad x stesso da come risultato 0, se la base è superiore ad 1 e infinito se la base è inferiore ad 1. Al contrario il limite di x che tende a più infinito di una funzione con base elevata ad x stesso da infinito se la base è maggiore di 1 e 0 se la base è inferiore a 1.

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Seno

Il limite per x che tende a 0 del rapporto fra senx e x da risultato nullo. Allo stesso modo il limite per x che tende a 0 del seno di una funzione di x fratto la funzione stessa da lo stesso identico risultato del limite precedente. Questo è chiamato limite fondamentale della trigonometria.

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Coseno

Il limite per x che tende a 0 del rapporto fra la differenza 1-cosx e x al quadrato risulta essere pari a 1/2 ovvero 0,5. Come detto in precedenza può essere fatto lo stesso ragionamento sostituendo all'interno del limite al posto di x una funzione definita in x.

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Tangente

Un limite analogo a quello del seno è quello della tangente: il limite di x che tende a 0 del rapporto fra la tangente di x e x stesso da valore unitario. Allo stesso modo al posto del valore x può essere sostituita la funzione f (x), esattamente come dimostrato nei passi precedenti.

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Arcoseno

Analogamente a quanto avvenuto al primo passo il limite per x che tende a 0 del rapporto fra l'arcoseno di x e x stesso da risultato unitario. Ancora una volta possiamo sostituire ad x la cosiddetta funzione equivalente che vale nel suo dominio e codominio.

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Arcotangente

Andiamo avanti nella trigonometria e parliamo del limite per x che tende a 0 del rapporto fra arcotangente di x ed x stessa da per risultato sempre 1. Anche qui possiamo pensare che f (x) valga allo stesso modo di x, stando attenti in questo caso ai punti in cui l'arcotangente non esiste.

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Seno e coseno iperbolici

Anche se non si studiamo quasi mai nel dettaglio, possono avere un ruolo importante nei limiti notevoli i cosiddetti seno e coseno iperbolici. Senza addentrarci nella definizione di questi enti matematici possiamo semplicemente affermare che i loro limiti sono identici a quelli del seno e del coseno.

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Logaritmo naturale

Il limite per x che tende a 0 del rapporto fra il logaritmo naturale della somma (1+x) ed x stesso da risultato 1. È fondamentale non confondersi con l'altro limite notevole sui logaritmi che prevede il logaritmo decimale e non quello naturale.

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Potenza con differenza

Il limite di x che tende a 0 del rapporto fra la differenza fra la quantità (1+x) elevata ad un coefficiente c e 1 diviso x stessa da proprio il coefficiente c. Come prima possiamo sostituire alla x la funzione relativa ad x senza ricorrere in errori.

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Numero di Nepero

Il limite che tende all'infinito della somma fra 1 e 1/x elevata a sua volta ad x da per risultato il numero di nepero, indicato in matematica con la lettera e. Questo risultato è fondamentale perché, a partire da questo, vengono derivati numerosissimi limiti secondari.

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