Teoremi di incompletezza di Gödel: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è da sempre la materia più complicata e quindi meno apprezzata sia dai bambini delle scuole elementari, sia dagli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà è dovuto soprattutto al fatto che i concetti sono strettamente connessi tra di loro, per cui è necessario comprenderli appieno onde evitare di avere problemi negli studi futuri. Nei passi della seguente guida parleremo dei teoremi di incompletezza di Gödel, in particolare verrà illustrata la loro dimostrazione.

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Occorrente

  • Testi sul teorema di Godel
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Particolari importanti

Prima di spiegare i teoremi e le dimostrazioni, è bene soffermarci su alcuni particolari. Le scoperte di Gödel hanno collezionato varie critiche. Spesso la matematica ha visto importanti controversie che hanno portato ad una forte divergenza sulla soluzione finale. Molti matematici hanno mosso importanti critiche proprio non prendendo per vero il concetto di incompletezza. Ma dal momento che per la maggior parte degli studiosi tali dimostrazioni sono reali, è nostro interesse procedere lo stesso.

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Dimostrazione del primo teorema

Questo si riferisce all'incompletezza del sistema dei numeri naturali. Gödel qui ci mostra come, qualsiasi sistema che sia in grado di poter definire i numeri naturali non può essere altro se non incompleto. Il suo enunciato afferma che in ogni teoria matematica che denomineremo T esiste una formula chiamata F. Ovviamente T è in grado di contenere al suo interno l'aritmetica di Peano. In questo modo, se T risulta essere coerente allora né R ne tanto meno la sua negazione -R sono dimostrabili in T. Quindi, ogni formalizzazione coerente della matematica è possibile costruire una proposizione corretta, che sua volta non si può né dimostrare né affermare. In un certo senso è impossibile anche dimostrare la contraddizione. Considerando che T viene stabilita come coerente già nell'enunciato stesso, allora R e -R non si possono dimostrare. Possiamo quindi affermare che la dimostrazione del primo teorema si trova già all'interno dello stesso enunciato.

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Dimostrazione del secondo teorema

Si parte dall'enunciato che esiste una teoria T che sia in grado di contenere al suo interno l'aritmetica di Peano. In questo caso si considera T completamente coerente. Ciò che non si può fare però è dimostrare la coerenza di questo sistema all'interno di se stesso. Questo teorema di incompletezza dimostra come nessun sistema coerente serve per dimostrare la sua stessa coerenza. Non esistendo nessuna teoria in grado di farlo, non può dimostrarle nessun ramo matematico esistente.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • I teoremi di incompletezza di Gödel meritano, senza ombra di dubbio, molto studio prima di essere assimilati

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