Teorema fondamentale dell'algebra: dimostrazione

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema fondamentale dell'algebra ha una storia cronologica suddivisa in quattro fasi distinte. Nella prima fase esso venne enunciato, ma rimanendo privo di dimostrazione. Nella seconda e nella terza fase troviamo i primi tentativi di dimostrazione, prima di arrivare alla spiegazione finale di Carl Friedrich Gauss. Nell'ultima fase troviamo invece svariate dimostrazioni, tutte successive al 1811. Vediamo quindi una dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

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Occorrente

  • Un buon libro di testo di analisi matematica
  • Formulario di analisi matematica
  • Carta e penna
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Le definizioni del teorema fondamentale dell'algebra

Innanzitutto, sappiate che esistono differenti definizioni attribuite al teorema fondamentale dell'algebra. In questa guida verranno proposte le due definizioni principali. La prima stabilisce che "un'equazione di grado 'n' ammette sempre 'n' soluzioni reali e distinte, reali coincidenti o complesse coniugate". La seconda stabilisce che "ciascun polinomio non costante di un'unica variabile a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa". Vediamo entrambe le definizioni più nello specifico.

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I vari tipi di dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra

Differenti sono anche le dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra. Possiamo suddividere le dimostrazioni in due tipologie: "topologiche" e "analitiche". In fase successiva illustreremo la dimostrazione fondata sull'analisi complessa, ma per il momento soffermiamoci sulle tre definizioni basilari: la "funzione olomorfa", che rappresenta una funzione definita su un sottoinsieme aperto del piano dei numeri complessi "C" aventi dei valori in "C" differenziabili in senso complesso in ciascun punto del proprio dominio; la "funzione intera", ovvero una variabile complessa che è olomorfa in tutti i punti del piano complesso "C"; il "Teorema di Liouville", che fa riferimento ad una proprietà caratteristica delle funzioni intere.

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La dimostrazione generale del teorema

Vediamo la dimostrazione. Prendete un polinomio complesso "p (z)" diverso da zero per ciascun "z" complesso; la funzione "f (z) = 1 / p (z)" costituisce una funzione intera, ovvero una funzione olomorfa su tutto il campo "C". Il limite del modulo di "p (z)" con il modulo di "z" tendente ad infinito vale più infinito, e ciò comporta che il limite del modulo di "f (z)" con modulo di "z" tendente ad infinito sia uguale a zero. Di conseguenza, la funzione "f (z)" è limitata. Secondo il Teorema di Liouville, "f (z)" è costante; segue dunque che anche "p (z)" non è variabile, per cui gli unici polinomi senza zeri sono quelli costanti. Abbiamo terminato la nostra guida-dimostrazione sul teorema fondamentale dell'algebra. Per ulteriori informazioni consultate il link: http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/numeri-complessi/2705-teorema-fondamentale-algebra.html

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Nel caso aveste altri dubbi a proposito del teorema fondamentale dell'algebra, chiedete aiuto ad un amico più capace di voi o rivolgetevi direttamente ad un professore specializzato in analisi matematica.
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