Teorema di Talete: dimostrazione

di Francesco De Stasio tramite: O2O difficoltà: media

Il Teorema di Talete è comunemente attribuito al filosofo e matematico greco Talete di Mileto (640 circa a. C. – 547 circa a. C.). Questo teorema è relativo alla proporzionalità che si viene a creare in un fascio di rette parallele (rette equidistanti all’infinito che non si intersecano mai) tra segmenti detti “omologhi”, quando sono intersecate da due altre rette. In altre parole: se abbiamo tre rette parallele intersecate da altre due rette (questa volta non parallele tra loro), il rapporto tra i segmenti omologhi che si vengono a formare sulle due rette non parallele è sempre costante. Vediamo ora la dimostrazione di questo teorema lasciataci da un altro illustre matematico greco: Euclide.

Assicurati di avere a portata di mano: Un foglio ed una penna per disegnare i triangoli.

1 Utilizzare le proporzioni Iniziando ad utilizzare le proporzioni, si ha che il triangolo BLM è proporzionale al triangolo LAM nello stesso modo in cui il segmento BL è proporzionale al segmento LA. Questo si ottiene perché i segmenti BL e LA sono le basi dei sue triangoli che hanno la stessa altezza (che in questo caso è il segmento LM). Nello stesso modo si ha la proporzionalità tra i triangoli CLM e LAM ed i loro lati CM e MA. Abbiamo quindi ottenuto la tesi di partenza: BL: LA = CM: MA e dimostrato in questo modo l’esattezza del teorema di Talete. Risulta ora anche evidente che questa proporzione è valida anche per i segmenti BA e CA che sono la somma rispettivamente dei segmenti BL e LA e di CM e MA.

2 Dimostrazione indiretta Si tratta di una dimostrazione indiretta che utilizza i triangoli. Questo è un tipo di dimostrazione in cui la tesi viene ritenuta vera e si arriva alla prova della sua esattezza tramite dei passaggi logici. Prendiamo un triangolo ABC attraversato da un segmento LM parallelo ad uno dei suoi lati (creando così due parallele intersecate da due segmenti non paralleli). Secondo il teorema esiste quindi una proporzionalità tra i segmenti che si vengono a formare, espressa nel seguente modo: BL: LA = CM: MA. Creiamo ora altri due segmenti all’interno del triangolo unendo il punto L col punto C ed il punto M col punto B. Si creano in questo modo due altri triangoli: BML e CLM. Questi nuovi triangoli possiedono la stessa area, hanno infatti la stessa base (il segmento LM) e anche la stessa altezza, essendo compresi tra le medesime rette parallele.

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3 Proposizione annunciata da Euclide Il segmento LM ha creato anche il triangolo LAM.  Questo triangolo è proporzionale ai due citati in precedenza e si ha quindi: BLM: LAM = CLM: LAM.  Approfondimento Come dimostrare il primo teorema di Euclide (clicca qui) Questa proporzione si ottiene utilizzando la settima proposizione enunciata da Euclide nel suo “Libro V” che ha come oggetto proprio le proporzioni.  L’enunciato della proposizione è il seguente: “Grandezze uguali rispetto alla stessa hanno lo stesso rapporto”.  In questo caso è valida perché i tre triangoli hanno in comune il segmento LM.

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